¿Qué es una expansión decimal?

Soy un adulto que intenta volver a la escuela después de unos años; Estoy tratando de prepararme para la universidad. Al leer, me he encontrado con los términos 'expansión decimal' y 'representación decimal', que por cierto, son sinónimos hasta donde puedo ver. He tratado de entenderlo por mi cuenta y siento que me he vuelto aún más confuso. Por lo que pude entender, la expansión decimal es la expresión de un número en el sistema de numeración decimal como 1, 15, 359, 18.7 y 3.14159. También leí, que cuando escribimos por ejemplo el número 3264, estamos diciendo que ese número es el resultado de sumar 3 x 10*3, 2 x 10^2, 6 x 10^1, y 4, o 4 x 10 ^0. Entonces decimos que 3264 es la expansión en base 10 de n , o la expansión decimal de n. Por lo que entiendo, entonces la expansión de 3264 es 3264, el número en sí. Entonces, ¿por qué cuando hablamos de expansión decimal (representación decimal), generalmente nos referimos a números que explícitamente tienen un punto decimal? Es decir, un número entero y un número fraccionario. Porque según tengo entendido, un número como 42 sería en sí mismo una expansión decimal, pero se dice que cada número tiene una expansión decimal infinita, en este caso, ¿42.00000? Otro ejemplo relacionado sería el número 1, que tiene 2 expansiones decimales infinitas: 1.00000..., y 0.99999.... Pero si también podemos expresar un número en notación decimal como por ejemplo: 4567 = 4x10^3 + 5x10^ 2 + 6x10 + 7 = 4567(10). Entonces, ¿son ambas expansiones decimales (representaciones decimales) o solo una de ellas? ¿4567 es la forma corta y 4x10^3 + 5x10^2 + 6x10 + 7 = 4567(10) es la expansión? Ahora,

representación decimal:Cualquier número real a entre 0 y 1 tiene una representación decimal, escrita .d1 d2 d3…, donde cada di es uno de los dígitos 0, 1, 2,…, 9; esto significa que a = d1 × 10^–1 + d2 × 10^–2 + d3 × 10^–3 + …. Esta notación se puede ampliar para permitir que cualquier número real positivo se escriba como cncn–1 … c1c0. d1d2d3 … usando, para la parte entera, la representación normal cncn–1 … c1c0 en base 10 (ver BASE). Si a partir de algún momento la representación consiste en la repetición de una cadena de uno o más dígitos, se denomina decimal recurrente o periódico. Por ejemplo, el decimal recurrente .12748748748... se puede escribir .12748 , donde los puntos de arriba indican el principio y el final de la cadena repetida. La cadena repetida puede constar de un solo dígito y, por ejemplo, .16666... ​​se escribe .16. Si la cadena repetida consta de un solo cero, esto generalmente se omite y la representación puede llamarse decimal terminal. La representación decimal de cualquier número real es única excepto que, si un número se puede expresar como un decimal terminal, también se puede expresar como un decimal con un 9 recurrente. Por lo tanto, .25 y .249 son representaciones del mismo número. Los números que se pueden expresar como decimales periódicos (incluidos los decimales) son precisamente los números racionales.

Y ahora me pregunto, ¿cuál es cualquier número real entre 0 y 1? Y volviendo al principio, ¿qué es una expansión decimal? ¿Expansión significa 'estirar' un número? ¿un número? Pero eso no tiene mucho sentido con su sinónimo; representación decimal. Entonces, ¿qué es una expansión decimal (representación decimal)?

Espero haberme explicado lo suficientemente bien, y no ser desesperada y muy tonta para ti; Me cuesta entender y aunque tengo poco tiempo (por mi trabajo y otras ocupaciones) quiero aprender.

Ojalá alguien pudiera ser tan pero tan amable de ayudarme, por favor. Estoy un poco desesperada. Muchas gracias. :)

PD: Lo siento por mi inglés, no es mi idioma nativo.

Muchas preguntas aquí. Desafortunadamente, las preguntas amplias como estas no son muy bien recibidas aquí, pero intentaré abordar los puntos principales.
Esta publicación es apenas legible: una falta total de formato de cita y grandes fragmentos de texto simplemente mezclados sin una conexión clara. Lo que es legible contiene múltiples preguntas que deben dividirse por separado.
@RushabhMehta Eso no es para lo que son los comentarios. Si necesita hacer una tormenta de comentarios en Twitter, entonces deben publicarse como respuesta. Especialmente si está abordando múltiples puntos en profundidad.
@ArturoMagidin Disculpas, eliminado.
Parece que está confundido sobre la diferencia conceptual entre el valor real de un número y cómo escribimos (representamos) ese valor de varias maneras.
La expansión decimal de un número real es solo la base habitual 10 expresión para ese número. Vea esto por ejemplo.
Necesita un libro de texto que tenga un capítulo sobre los fundamentos lógicos de R .
Supongo que su confusión es que no ha visto muchas otras formas de representar números, o al menos la falta de experiencia en trabajar con otras representaciones. Por lo tanto, para los números enteros hay sistemas de notación no posicional (por ejemplo, números romanos ) y otros sistemas de notación posicional (por ejemplo , binario , ternario , etc.) y otros como el sistema numérico factorial (nuevo para mí). (continuado)
Para los números racionales tenemos las fracciones ( fracciones vulgares o números mixtos ). Para los números reales tenemos fracciones continuas (muy usadas en matemáticas), expansiones de Cantor (pocas veces usadas) y otras.
Expansión/representación decimal no me parece un término completamente técnico, por lo que creo que podría tener diferentes significados en diferentes libros de texto. No me preocuparía demasiado por eso: si sigues un libro de texto y te apegas a la convención allí, deberías estar bien.
Tenga en cuenta que la no unicidad de la expansión decimal afortunadamente solo ocurre en el caso de una expansión de terminación, que corresponde a una expansión con un período 9 ¯ .
Tenga en cuenta que 0 ¯ es un período bastante artificial y los ceros finales generalmente se omiten de todos modos, a menos que tengamos situaciones en las que el número de dígitos decimales después del punto decimal sea fijo.
Una gran disculpa por tardar tanto en responder. He tenido mucho trabajo que hacer y terminé muerto al final del día. Le agradezco mucho por tomarse el tiempo y la paciencia para resolver esta pregunta quizás bastante tonta y básica.
@Peter Estaba un poco frío con el hecho de que la no unicidad de una expansión decimal solo ocurre en el caso de una expansión terminal, que corresponde a una expansión terminal con período 9.
@Peter Y ese 0 es un período bastante artificial (realmente no lo sabía; tampoco lo entiendo muy bien).
@Peter, creo que podría detenerme allí por ahora, si trato de profundizar, me confundiría y pasaría mucho tiempo en ese detalle que, tal vez cuando avance, lo entenderé mejor. Te agradezco mucho.

Respuestas (2)

Lo más probable es que vea " representación decimal " en el contexto de los números enteros , cuando el libro habla de diferentes bases numéricas .

Es decir, se discutirá la representación decimal para compararla, por ejemplo, con la representación binaria .

Entonces

  • Expresemos en binario el número cuya representación decimal es 42 : 42 = 2 5 + 2 3 + 2 1 y entonces 42 es 101010 en binario".

Lo más probable es que vea " expansión decimal " en el contexto de fracciones , cuando el libro habla de escribir una fracción usando un punto decimal y así sucesivamente:

  • "Expresemos 3 4 usando su expansión decimal : 3 4 = 3 × 25 4 × 25 = 75 100 = 0.75 ."

Pero, de hecho, "representación decimal" y "expansión decimal" significan lo mismo. Es solo que la "expansión" es más apropiada para las fracciones después del punto decimal (especialmente cuando son recurrentes o no terminan) porque la lista de dígitos "se expande" después del punto decimal.

Espero que esto ayude. La distinción es meramente de contexto.

Muchas gracias, me has ayudado mucho. Me pregunto mucho por qué en muchos libros básicos que tratan temas como este, no explican ese tipo de sutilezas; este tipo de confusión puede ocurrir.

Tratando de resumir lo que es esencial para prepararse para la universidad:

  • bueno para leer (gracias a lulu): es esto

  • es bastante obvio y correctamente observado por usted que un número entero, digamos, 4567 tiene una infinitud trivial de expansiones decimales (representaciones): 4567.000...

  • Lo mismo vale para los números racionales cuya expansión exacta es finita, por ejemplo 1 / 2 = 0.50.... , de modo que nuevamente se pueden rellenar ceros al final a voluntad

  • como has observado correctamente: 0.999999... representa el mismo número que 1.0000... .

  • en un comentario se hizo la observación de que existe una diferencia conceptual entre el valor de un número y cómo lo escribimos de varias formas.

  • algunos comentarios adicionales le brindaron sugerencias valiosas para que profundice más, pero no creo que eso sea necesario para la universidad, excepto quizás las representaciones binarias, ya que serán muy importantes si se interesa en las ciencias de la computación.

"Lo mismo se aplica a los números racionales, ya que su expansión exacta es finita". Es posible que desee ampliar esto, ya que la mayoría de los números racionales tienen una parte recurrente, por lo que no todos los números racionales se pueden completar con ceros.
Gracias por señalar esa mierda.
@PrimeMover Leí algo al respecto en uno de los muchos libros que busqué:
@PrimeMover Dice lo siguiente: "Los números racionales son precisamente los números reales con expansiones decimales que terminan (terminan en una cadena infinita de ceros), por ejemplo, 3/4 = 0.75000... = 0.75 o eventualmente se repiten"
@PrimeMover Es de "University Calculus, Global Edition, 3rd Ed, by Hass, Weir, Thomas, Jr. from Pearson Publishing. En el apéndice de Real Numbers, p. 928.
@PrimeMover Estoy un poco confundido acerca de lo que le señalaste a Kurt G.
@PrimeMover Pero no estoy seguro si debo profundizar, porque me confundiría más, creo que sería mejor dejarlo hasta donde pude entender, y eso es suficiente para seguir adelante.
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