¿Es cierto que 0.999999999…=10.999999999…=10.999999999\ldots=1?

¿Qué significa cuando te refieres a$.99999\ldots$? Los símbolos no significan nada en particular hasta que haya definido lo que quiere decir con ellos .

En este caso, la definición es que estás tomando el límite de$.9$,$.99$,$.999$,$.9999$, etc. ¿Qué significa decir que el límite es$1$? Bueno, significa que no importa cuán pequeño sea el número$x$usted elige, puedo mostrarle un punto en esa secuencia de modo que todos los demás números en la secuencia estén dentro de la distancia$x$de$1$. Pero ciertamente, sea cual sea el número que elijas, tu número es mayor que$10^{-k}$para algunos$k$. Así que puedo elegir mi punto para ser el$k$th punto en la secuencia.

Una forma más intuitiva de explicar el argumento anterior es que la razón$.99999\ldots = 1$es que su diferencia es cero. Así que vamos a restar$1.0000\ldots -.99999\ldots = .00000\ldots = 0$. Eso es,

$1.0 -.9 = .1$

$1.00-.99 = .01$

$1.000-.999=.001$,

$\ldots$

$1.000\ldots -.99999\ldots = .000\ldots = 0$

Supongamos que este no fuera el caso, es decir$0.9999... \neq 1$. Entonces$0.9999... < 1$(Espero que estemos de acuerdo en eso). Pero entre dos números reales distintos, siempre hay otro en el medio, digamos$x=\frac{0.9999... +1}{2}$, por eso$0.9999... < x < 1$.

La representación decimal de$x$debe tener un dígito en algún lugar que no sea$9$(de lo contrario$x = 0.9999...$). Pero eso significa que en realidad es más pequeño,$x < 0.9999...$, contradiciendo la definición de$x$.

Por lo tanto, la suposición de que hay un número entre$0.9999...$y$1$es falso, por lo tanto son iguales.

Lo que realmente no me gusta de todas las respuestas anteriores es la suposición subyacente de que$1/3=0.3333\ldots$¿Como sabes eso? Me parece como asumir algo que ya se sabe.

Una prueba que me gusta mucho es:

Lo único que debo suponer es que$9.999\ldots - 0.999\ldots = 9$y eso$0.999\ldots × 10 = 9.999\ldots$Estos me parecen lo suficientemente intuitivos como para darlos por sentado.

La prueba es de un viejo libro de matemáticas de nivel secundario de la Universidad Abierta de Israel.

Asumiendo:

1. los decimales infinitos son series donde los terminos son los digitos divididos por la potencia propia de la base
2. la serie geométrica infinita$a + a \cdot r + a \cdot r^2 + a \cdot r^3 + \cdots$tiene suma$\dfrac{a}{1 - r}$mientras$|r|<1$

Esta es la serie geométrica infinita con primer término$a = \frac{9}{10}$y razón común$r = \frac{1}{10}$, entonces tiene suma

Hay auténticas dificultades conceptuales implícitas en esta pregunta. La transición de los números racionales a los números reales es difícil, y tomó mucho tiempo y mucha reflexión hacerla realmente rigurosa. Se ha señalado en otras respuestas que la notación$0.999999\ldots$es solo una notación abreviada para la serie geométrica infinita$\sum\limits_{n=1}^{\infty} 9\left( \frac{1}{10} \right)^{n},$que tiene suma$1.$Esto es factualmente correcto, pero aún oculta algunas de las cuestiones conceptuales debajo de la alfombra. Hay preguntas que deben abordarse sobre lo que queremos decir cuando escribimos (o pretendemos) un decimal infinito o una serie infinita. Cualquiera de esos dispositivos es solo una notación abreviada que los matemáticos están de acuerdo en representar algunos números, dado un conjunto de reglas básicas. Permítanme tratar de presentar un argumento para sugerir que si la notación$0.99999\ldots$es representar significativamente cualquier número real, entonces ese número no podría ser otra cosa que el número real$1$, si podemos estar de acuerdo en que algunas verdades son "evidentes".

Seguramente podemos estar de acuerdo en que el número real que representa no puede ser estrictamente mayor que$1$, si de hecho representa un número real. Convenzámonos ahora de que no puede ser un número real estrictamente menor que$1,$si tiene algún sentido. Bueno, si fuera un número real$r < 1,$ese número real sería mayor o igual que$\sum\limits_{n=1}^{k} 9\left( \frac{1}{10} \right)^{n}$para cualquier entero finito$k.$Este último número es el decimal.$0.99 \ldots 9$que termina después$k$ocurrencias de$9,$y se diferencia de$1$por$\frac{1}{10^{k}}.$Desde$0 < r <1,$hay un valor de$k$tal que$\frac{1}{10^{k}} < 1-r,$entonces$1 - \frac{1}{10^{k}} >r.$Por eso$\sum\limits_{n=1}^{k} 9\left( \frac{1}{10} \right)^{n} > r.$Pero esto no puede ser, porque acordamos que$r$debe ser mayor o igual que cada una de esas sumas truncadas.

¿He probado que el decimal periódico es igual a$1$? Realmente no, lo que he probado es que si permitimos que ese decimal periódico represente significativamente cualquier número real, ese número real tiene que ser$1,$ya que no puede ser estrictamente menor que$1$y no puede ser estrictamente mayor que$1$. En este punto, se convierte en una cuestión de convención aceptar que el número real$1$se puede representar de esa forma, y ​​esa convención será consistente con nuestras operaciones usuales con números reales y el orden de los números reales, e igualar la expresión con cualquier otro número real no mantendría esa consistencia.

De acuerdo, quemé muchos puntos de reputación (al menos para mí) en MathOverflow para obtener claridad sobre cómo dar algo de intuición a este problema, así que espero que esta respuesta sea al menos algo esclarecedora.

Para obtener una comprensión más profunda de lo que está sucediendo, primero debemos responder la pregunta "¿Qué es un número?"

Hay muchas formas de definir los números, pero en general los números se consideran símbolos que representan conjuntos.

Esto es fácil para cosas como los números naturales. Entonces 10 correspondería al conjunto con diez cosas, como una bolsa de diez piedras. Muy claro.

La parte complicada es que cuando consideramos diez como un subconjunto de los números reales, en realidad lo redefinimos. Esto no se enfatiza ni siquiera en las clases superiores de matemáticas, como el análisis real; simplemente sucede cuando definimos los números reales.

Entonces, ¿qué es 10 cuando se construye en los números reales? Bueno, al menos con la versión cortada de Dedekind de los números reales, todos los números reales corresponden a un conjunto con una cantidad infinita de elementos. Esto hace que 10 debajo del capó se vea drásticamente diferente, aunque en la práctica funciona exactamente igual.

Así que volvamos a la pregunta: ¿Por qué 10 es lo mismo que 9,99999? Porque los números reales tienen esta cualidad completamente sorprendente, donde no hay un próximo número real. Entonces, cuando tienes dos números reales que están lo más cerca posible, son iguales. No puedo pensar en ningún objeto físico que tenga esta cualidad, pero así es como funcionan los números reales (hace que "real" parezca irónico).

Con los enteros (versión bolsa de piedras) esto no es lo mismo. Cuando tienes dos números enteros lo más cerca posible entre sí, siguen siendo diferentes y están distantes uno de otro.

Dicho de otra manera, 10 bolsas de piedras no son lo mismo que 9,9999999 sino 10 el número natural, donde los números naturales son un subconjunto de los números reales.

La conclusión es que los números reales tienen estos casos extremos complicados que son difíciles de entender intuitivamente. No te preocupes, tu intuición realmente no te está fallando. :)

No me sentí seguro de responder hasta que obtuve este enlace de Terence Tao:

Wayback Machine
PDF, página 12

Un argumento en contra de esto es que 0.99999999... es "algo" menor que 1. ¿Cuánto exactamente?

      1 - 0.999999... = ε              (0)

Si lo anterior es cierto, lo siguiente también debe ser cierto:

9 × (1 - 0.999999...) = ε × 9

Calculemos:

0.999... ×
9        =
───────────
8.1
  81
   81
     .
      .
       .

───────────
8.999...

De este modo:

     9 - 8.999999... = 9ε              (1)

Pero:

         8.999999... = 8 + 0.99999...  (2)

En efecto:

8.00000000... +
0.99999999... =
────────────────
8.99999999...

Ahora veamos qué podemos deducir de (0), (1)y (2).

9 - 8.999999... = 9ε                      because of (2)
9 - 8.999999... = 9 - (8 + 0.99999...) =  because of (1)
                = 9 -  8 - (1 - ε)        because of (0)
                =   1    -  1 + ε         
                =               ε.

De este modo:

9ε = ε

8ε = 0

ε = 0

1 - 0.999999... = ε = 0

Quod erat demostrandum. Perdona mi unicode.

Si toma dos números reales xy yluego hay una definición del número real zpara el cual x < z < yo x > z > yes verdadero.

Para x = 0.99999...y y = 1no puedes encontrar un zy por lo tanto 0.99999... = 1.

.999... = 1porque .999...es una representación simbólica concisa de "el límite de alguna variable cuando se acerca a uno". Por lo tanto, .999... = 1por la misma razón el límite de x cuando x tiende a 1 es igual a 1.

Dado (por división larga):
$\frac{1}{3} = 0.\bar{3}$

Multiplicar por 3:
$3\times \left( \frac{1}{3} \right) = \left( 0.\bar{3} \right) \times 3$

Por lo tanto:
$\frac{3}{3} = 0.\bar{9}$

QED.

De hecho, esto es cierto. La razón subyacente es que los números decimales no son representaciones únicas de los reales. (Técnicamente, existe una biyección entre el conjunto de todos los números decimales y los reales, pero no es la natural/obvia).

Aquí hay una prueba muy simple:

entonces ya sabemos$0.333\ldots\times3=1$por lo tanto$0.999\ldots=1$.

El problema no es demostrar que$0.9999... = 1$. Hay muchas demostraciones y todas son fáciles.

El problema es estar convencido de que todos los argumentos que está haciendo en realidad son válidos y tienen sentido, y no tener la sensación de que no está cayendo en un truco de salón.

$0.99...9;$(con$n$9s) es$\sum_{i= 1}^n \frac 9 {10^i}$así que "obviamente"$0.999....$(con un número infinito de 9s) es$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac 9{10^i}$.

La objeción obvia es: ¿tiene sentido hablar de sumar un número infinito de términos? ¿ Cómo podemos hablar de tomar y sumar un número infinito de términos?

Y es una objeción legítima.

Entonces, cuando aprendemos matemáticas en la escuela primaria, se nos dice: cada número real se puede escribir como una expansión decimal (tal vez infinito) y cada expansión decimal posible es un número real. Y esto es cierto. Pero no se nos dice por qué y se espera que lo tomemos con fe, y generalmente lo hacemos.

SI tomamos esto por fe, entonces una prueba es muy fácil:

$0.9999.... = \sum_{i = 1}^{\infty} \frac 9{10^i}$

$10*(0.9999....) = 10*\sum_{i = 1}^{\infty} \frac 9{10^i}= \sum_{i = 1}^{\infty} \frac {90}{10^i}=$

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac 9{10^{i-1}} = 9/10^0 + \sum_{i = 2}^{\infty} \frac 9{10^{i-1}}= 9 + \sum_{i = 1}^{\infty} \frac 9{10^i}$(¡Mira los índices!)

Entonces...

$10*(0.999...) - (0.9999...) = (10 - 1)*0.9999.... = 9*0.99999.... =$

$9 + \sum_{i = 1}^{\infty} \frac 9{10^i} - \sum_{i = 1}^{\infty} \frac 9{10^i} = 9$.

Entonces...

$0.9999.... = 9/9 = 1$.

¡Fácil! !!!!!!!¡¡¡¡¡¡¡SI!!!!!!! asumimos con fe que: Cada número real se puede escribir como una expansión decimal (tal vez infinito) y cada expansión decimal posible es un número real.

Entonces, ¿por qué podemos tomar eso por fe? Ese es el problema: ¿por qué es eso cierto y qué significa?

Entonces....

Tenemos los números enteros. Los usamos para contar medidas discretas. Podemos usar un número entero para dividir una unidad 1 en$m$subunidades para medir medidas de$1/m$. como el$m$puede ser tan grande como queramos$1/m$puede ser tan preciso como queramos y el sistema de todos los posibles$n/m; m \ne 0$puede medir cualquier cantidad posible con precisión arbitraria e infinita.

Esperamos. Llamamos a estos$n/m$números los Racionales y todo está bien hasta que descubrimos que en realidad no podemos medir medidas como la raíz cuadrada de dos o pi.

Pero los Racionales todavía tienen una precisión infinita. Podemos llegar a 1/10 de pi. Podemos alejarnos 1/100 de pi. Dentro$1/10^n$para cualquier posible potencia de 10.

En este punto, esperamos poder decir "no podemos medirlo con ninguna potencia finita de 10, pero siempre podemos ir a una medida significativa más, así que si usamos potencias infinitas de 10 lo mediremos con precisión " y Espero que la explicación sea convincente.

Pero no lo es realmente. Tenemos estos "números perdidos" y podemos acercarnos infinitamente a ellos, pero ¿qué son realmente?

Bueno, decidimos especializarnos en matemáticas y en nuestro último año de universidad tomamos un curso de Análisis real y lo descubrimos.

Podemos ver los números como conjuntos de números racionales. Podemos dividir los números racionales en cualquier punto en dos conjuntos. Podemos dividir los números racionales de modo que todos los números racionales menores que 1/2 estén en el conjunto A y todos los números racionales mayores o iguales a 1/2 estén en el conjunto B (que ignoramos; solo nos interesa el conjunto A .)

Estos "cortes" pueden ocurrir en cualquier momento pero deben seguir las siguientes reglas:

--el conjunto A de todos los números racionales menores no está vacío. Tampoco contiene todos los números racionales. Algún número racional no está en él.

--si cualquier número racional (llámelo q) está en A, entonces todo número racional menor que q también está en A. (Esto significa que si r es un número racional que no está en A, entonces todo número racional mayor que r tampoco está en A. A.)

-- A no tiene un solo elemento mayor. (Entonces pueden ser todos los elementos menores que 1/2 pero no pueden ser todos los elementos menores o iguales a 1/2).

y dejamos$\overline R$sea ​​la colección de todas las formas posibles de "cortar" los números racionales a la mitad de esa manera.

Note que a veces el corte ocurrirá en un número racional (todos los racionales menores que 1/2), pero a veces ocurrirá en puntos "entre" los números racionales. (Todos los racionales cuyos cuadrados sean menores que 2). Así la colección$\overline R$es un conjunto más grande que el conjunto de los números racionales.

Resulta que podemos definir los números reales como los puntos de$\overline R$donde podemos cortar los racionales en dos.

Necesitamos hacer un poco o trabajar para mostrar que este es en realidad un sistema numérico. Decimos$x, y \in \overline R; x < y$si el "Conjunto A hecho cortando en x"$\subset$"Conjunto A hecho cortando en y". y decimos$x + y =$el punto donde necesitamos cortar para que el conjunto A creado contenga todas las sumas de los otros dos conjuntos creados al cortar en x e y. Y tenemos que demostrar que las matemáticas funcionan en$\overline R$. Pero nosotros podemos hacerlo. Y lo hacemos.

Pero como consecuencia vemos que todo número real es el límite superior mínimo de una sucesión de números racionales. Esa es más o menos la definición de lo que es un "punto de corte"; el punto que separa todos los racionales menos que él de todos los demás racionales.

Me gusta decir (algo trivialmente) que: el número real$x$es el límite superior mínimo de todos los números racionales que son menores que$x$. ¡Y es verdad!

En los números reales, todo número real es el límite de alguna sucesión de números racionales. Y cada secuencia acotada de números racionales tendrá un límite superior mínimo de número real.

...

Deje que se remojen un minuto.

=====

Bien, dada una secuencia {3, 3.1, 3.14, 3.141,....} = {decimales finitos que son menores que pi} es una secuencia acotada de números racionales, entonces$\pi =$el límite de la secuencia que también es el límite de la secuencia infinita 3.1415926....

Ahora tiene sentido hablar de$0.9999.... = \sum_{i=1}^{\infty}9/10^i = \lim\{\sum_{i=1}^n9/10^i\}$= un número preciso y real.

Y a partir de ahí podemos decir con confianza que ese número es$1$. (Por cualquiera de estas pruebas.)

Hay algunas situaciones en las que algo como$0.99999\ldots < 1$de hecho se sostiene. Aquí hay uno que proviene de la teoría de la elección social.

Dejar$w_1>w_2>\ldots$sea ​​una secuencia infinita de números positivos, y sea$T$ser un número en el rango$(0,\sum_i w_i)$. Elija un índice$i$. Elige una permutación aleatoria$\pi$de los enteros positivos, y considere los totales acumulados

Nos interesará particularmente el caso en el que la sucesión$w_i$es súper creciente : por cada$i$,$w_i \geq \sum_{j=i+1}^\infty w_j$. El caso más simple es$w_i = 2^{-i}$. cada numero$T \in (0,1)$se puede escribir en la forma

Las dos primeras funciones se representan aquí:

¿Qué sucede con los diferentes conjuntos de pesos? Se aplica la misma fórmula, para

Observe todas las partes horizontales, por ejemplo, la línea azul en$y=1$en$x \in (1/6,1/3)$. ¿De dónde proviene esto? Tenga en cuenta que$1/3 = 3^{-1} = w_1$, mientras$1/6 = \sum_{i=2}^\infty 3^{-i} = \sum_{i=2}^\infty w_i$. si sustituimos$w_i = 2^{-i}$, entonces$1/3$corresponde a$0.1$(en binario), mientras que$1/6$corresponde a$0.011111\ldots$. Entonces, en este caso, hay una brecha (visible) entre$0.011111\ldots$y$0.1$!

Para obtener más información, eche un vistazo a esta pregunta y este manuscrito .

Puedes visualizarlo pensando en ello en infinitesimales. Cuanto más$9's$tienes al final de$0.999$, cuanto más te acercas a$1$. Cuando sumas un número infinito de$9's$a la expansión decimal, estás infinitamente cerca de$1$(o una distancia infinitesimal de distancia).

Y esto no es una prueba rigurosa, solo una ayuda para visualizar el resultado.

Muchas veces las personas que hacen esta pregunta no están muy convencidas por una prueba. Dado que es posible que no tengan una especial inclinación por las matemáticas, pueden sentir que una prueba es una especie de truco de prestidigitación, y encuentro el siguiente argumento intuitivo (léase "no me voten en contra por falta de rigor, falta de el rigor es el punto") un poco más convincente:

PASO 1) Si$.99...\neq1$, todos están de acuerdo en que debe ser menor que$1$. Dejar$\alpha$denotar$.99...$, este número misterioso menor que$1$.

PASO 2) Usando una recta numérica, puedes convencerlos de que, dado que$\alpha<1$, debe haber otro número$\beta$tal que$\alpha<\beta<1$.

PASO 3) Desde$\alpha<\beta$, uno de los dígitos de$\beta$debe ser mayor que el dígito correspondiente de$\alpha$.

PASO 4) Sin embargo, por lo general es claro de forma intuitiva que no puede hacer ningún dígito de$.99...$más grande sin hacer el número resultante (es decir,$\beta$) más grande que$1$.

PASO 5) Por lo tanto, no hay tal$\beta$puede existir, y por lo tanto$.99...$no puede ser menos que$1$.

El sistema de números reales se define como una extensión de los racionales con la propiedad de que cualquier secuencia con un límite superior tiene un límite superior MENOR. La expresión "0.9-repetido" se define como el límite superior del número real mínimo de la secuencia 0.9. 0,99, 0,999,..... , que es 1. Los racionales (y los reales) también se pueden extender a un sistema aritmético (un campo ordenado) en el que hay valores positivos que son menores que todo racional positivo. En tales sistemas, la expresión ".9-repetido" no tiene significado.

Otro enfoque es el siguiente:

Esta es mi razón favorita por la que$.999\ldots$debe ser igual$1$:$^{*}$

La razón por la que más me gusta esta explicación es que la suma de expansiones decimales infinitas (positivas) (definidas de una manera particular) es tanto conmutativa como asociativa, incluso si insiste en que$.999\ldots$y$1$son números diferentes. Es decir, forma un monoide conmutativo . Pero la propiedad de cancelación falla: si$a + b = a + c$, entonces no necesariamente podemos concluir$b = c$. El ejemplo de esto está arriba, y la razón más fundamental por la cual$.999\ldots = 1$podría decirse que la propiedad de cancelación puede mantenerse.

$^{*}$El cálculo que se da aquí (usando la reorganización y la reagrupación de términos) es informal y no pretende ser una prueba, sino más bien dar una idea de cómo puede agregar expansiones decimales infinitas en el monoide donde$.999\ldots \ne 1$. Termina siendo cierto que$.999\ldots + .999\ldots = 1 + .999\ldots$en este monoide.

Una buena forma en que aprendí a probar esto es que, asumiendo por$0.99999...$te refieres a$0.\bar{9}$. Bueno, podemos decir que

Usa el teorema de compresión:

Si permite que una "representación decimal" de un número termine finalmente con un punto$9$como en$0.\bar9$o$1.123\bar9$esta "representación decimal" de un número no sería única.

Sabemos por definición que$0.\bar9=\sum_{n=1}^{\infty}(9/10)^n=1$, pero por el bien de la unicidad de la representación decimal$0.\bar9$no es una representación decimal de ningún número.

En lugar de dar una explicación intuitiva como ha hecho la mayoría de la gente, permítanme dar una prueba formal de principios básicos de este hecho. Si$\epsilon>0$y$N=\max\left(\lceil{{log}_{10}\frac{1}{\epsilon}}\rceil+1,1\right)$, entonces para todos los números naturales$n\geq N$,

y por lo tanto$\left |\Sigma_{i=1}^{n}\frac{9}{{10}^i}-1\right|<\epsilon$. Desde$\epsilon$fue arbitrario, se sigue que

Claro como el barro, pero así es como lo probarías en, digamos,$ZFC$, o la teoría de segundo orden de los números reales, a partir de primeros principios.

Si tomamos una versión de la notación decimal con complemento completo, de hecho es así.

En este sistema, en lugar de permitir$0.2$y$0.1999...$restringimos la notación decimal para usar solo una versión infinita$0.19999...$brevemente escrito como$0.1\overline{9}$

Simplemente, no permitimos un rastro infinito de ceros.

En este sistema no hay$0$Escrito como$0.000...$en cambio, es$...999.999...$o con nuestra notación sucinta$\overline{9}.\overline{9}$

Los números negativos se escriben en notación complementaria. Por ejemplo,$...998.999...=\overline{9}8.\overline{9}=-1$

Todas las reglas de multiplicación suma resta son totalmente válidas.

En este sistema, es de hecho$0.99999...=0.\overline{9}=1$porque no podemos representar$1$como$1.0000...$.

[ Nota: esta es mi respuesta original, pero completamente reescrita para aclarar su propósito.]

Esta respuesta retoma el punto de Trevor Richards de que las personas que hacen esta pregunta a menudo no se convencen con pruebas matemáticas rigurosas y, en cambio, se sienten engañadas por ellas. En esta situación, una cosa que podría ayudar es una demostración visible convincente de que$0.999999 . . . =1$tiene alguna posibilidad de ser verdad.

La demostración habitual consiste en hacer que alguien esté de acuerdo en que$\frac13=0.33333 . . .$y luego lo multiplicas por$3$Llegar$0.99999 . . .$. En este punto, pueden estar convencidos, pero igualmente pueden sentirse desconcertados o engañados.

Aquí, creo, es donde entran más ejemplos. Tenemos que ver que$\frac13$no es una especie de caso especial que pueda usarse para engañarnos.

Cuando me encontré por primera vez$0.999999. . .$, encontré mirando múltiplos de$\frac19$útil. Una vez que te hayas convencido de que esto se puede representar mediante una cadena infinita de$1$'s, es fácil ver que agregarlo repetidamente da$0.222222. . .$,$0.333333. . .$,$0.444444. . .$todo el camino hasta$0.999999. . .$

Este proceso es completamente inevitable, especialmente si lo escribes en papel. Pero . . . ¿Quizás todavía es solo un truco con un dígito repetido?

OK entonces: probemos múltiplos de$\frac17=0.142857 . . .$. Este es divertido por la forma en que se comporta el ciclo de dígitos:

$\frac17=0.142857 . . .$
$\frac27=0.285714 . . .$
$\frac37=0.428571 . . .$

y el patrón continúa muy bien, y pronto es "obvio" que los dígitos seguirán girando. Pero entonces, de repente, no:

$\frac67=0.857142 . . .$
$\frac77=0. 999999 . . .$

— ¡ Ahí está de nuevo!

También podemos probar con otras fracciones, como$\frac{1}{13}$y$\frac{1}{37}$, que se repiten después de un número manejable de dígitos. Siempre terminamos en$0.999999 . . .$.

En esta etapa, debería parecer claro (pero no probado formalmente) que aceptar la idea de decimales infinitamente recurrentes implica aceptar que$0.999999. . . =1$.

El problema pendiente, por supuesto, es la aceptación de decimales infinitamente recurrentes. Eso se aborda en otras respuestas.

Podemos hacer esto calculando la raíz cuadrada de$0.99...$por el método de división larga.

Ahora, primero obtendremos un cero y un punto decimal en el cociente como$0<0.99...\leq 1$. Entonces$9$como divisor del primer par de$9$entonces$189$para el siguiente par de$9$'s,$1989$más y así sucesivamente ($19989$,$199989$, ...). El cociente se añade con un$9$en cada paso y podemos ver un patrón en los dividendos, divisores y residuos para asegurar que el cociente tendrá solo$9$'s después del punto decimal. Aunque no estoy seguro de cómo probar que no habrá ningún dígito excepto$9$, tal vez observar el patrón es suficiente. (Se agradecerán las aportaciones a esta prueba).

Más adelante obtenemos$\sqrt{0.999...}=0.999...$, además$0<0.99...\leq 1$.

Ahora si$x\in\mathbb{R},\ x=\sqrt{x} \implies x =0\ \text{or}\ x=1$

Así obtenemos$0.999...=1$

Ambas expresiones numéricas propuestas representan el mismo corte de Dedekind del conjunto de números racionales, es decir, el mismo número real.

La respuesta es "verdadero".

Dejar$R$ser cualquier anillo que contenga un elemento$x$tal que$1-10x=0$. Supongamos además que$R$contiene la serie de potencia formal$\sum_{i=1}^\infty x^i$.

Formalmente esto significa que hay un homomorfismo de anillos$f\colon S\to R$, de un subanillo$S\subseteq\mathbb{Z}[[t]]$que contiene$\sum_{i=1}^\infty t^i$, tal que$f(t)=x$.

Entonces:

Prueba: tenemos

Disculpa: revisé el anterior$31$respuestas y no vi ninguna que dejara claro que este resultado se puede probar algebraicamente (independientemente de cualquier topología, análisis o estructura de orden). Creo que esta es una contribución legítima a la discusión, ya que una vez que alguien ha entendido por qué la identidad se deriva de las definiciones, tiende a preguntarse si no podría haber definido los reales "mejor", para evitarlo (o tal vez eso es lo que se preguntaban en primer lugar, sin darse cuenta).

Un eslabón perdido en otras respuestas.

Si$0.9999....$y$1$son para representar números reales, entonces tienen que seguir las propiedades del conjunto de números reales.

Uno de ellos dice que los números reales están densamente ordenados , lo que significa que siempre hay otro número real entre dos números reales diferentes.

Si$0.9999...$y$1$son diferentes, tendría que haber otro número real entre los dos. Sin embargo, no puede cambiar ninguno de los dígitos de ninguno de los dos para registrar este número.

Por eso,$0.9999...$y$1$debe ser considerado el mismo elemento del conjunto de los números reales.

Cuantos más 9 hay en la secuencia, más pequeño se vuelve el margen entre el 1 y ese número, y después de cada 9, el margen se vuelve 10 veces más pequeño. Por ejemplo, para el número 0.9, es${1 \over \mathrm{10}^{1}}$lejos de llegar a 1, 0.99 es${1 \over \mathrm{10}^{2}}$lejos de llegar a 1, y 0.999 es${1 \over \mathrm{10}^{3}}$lejos de llegar a 1. Así que si$0.99999999 \dots$tiene un$n$número de 9 en él, el 'espacio' entre ese número y 1 es${1 \over \mathrm{10}^{n}}$. Ahora, desde$0.99999999 \dots$tiene un número infinito de 9, tiene sentido que el 'espacio' entre$0.9999999 \dots$y 1 es${1 \over \mathrm{10}^{\infty}}$, o$\mathrm{10}^{-\infty}$, que es 0. Ahora, para demostrar que$\mathrm{10}^{-\infty}$es 0. Simplemente tome la base logarítmica 10 de ambos lados y encontrará que$\log_{10} 0 = -\infty$. Esto significa que el "espaciado" entre$0.9999\dots$y 1 es 0, lo que significa que$0.99999\dots + 0 = 1$.

Por lo tanto,$0.9999\dots = 1$

Sabemos que 0,9999...... es un número infinito, pero ¿qué pasa si piensas por un minuto que se acabará? Sea cualquier número A = 0.999....
10× A = 10 × 0.999..... 10A = 9.999......
(Suponiendo que podemos multiplicar 10 por un número no terminador) Ahora restaremos A de 10A 10A - A = 9.9.... - 0.99.... 9A = 9.
(Después del decimal todos los 9 se cancelarán entre sí) A = 1 Que habíamos tomado como igual a 0.9.... Por lo tanto, cuál es nuestra prueba.