¿Cuántas expansiones decimales en base 101010 puede tener un número real?

Question

¿Cuántas expansiones decimales en base 101010 puede tener un número real?

Matemáticas
numeros reales
análisis real
expansión decimal
secuencias y series

clatratus

Un resultado poco intuitivo del análisis real es que las expansiones decimales no son únicas. Por ejemplo,

0.99999... = 1.

$0.99999...=1.$ Entonces se puede deducir que todo número real tiene al menos una base

10

$10$ expansión decimal, a veces incluso dos. ¿Pero es dos el máximo ? ¿Existen números reales con tres bases diferentes?

10

$10$ expansiones decimales?

Intuitivamente, pensaría que no, pero casi no tengo idea de cómo probarlo aparte de saber que el método más fácil sería una prueba por contracción.

Puede ayudar a restringir el problema considerando las expansiones de números solo en $[0,1]$ . Eso es porque si $a\in[0,1]$ tiene más de dos bases $10$ expansiones decimales, entonces también lo hace $a+x$ para todos $x\in\Bbb R$ . Y del mismo modo, si $x\in\Bbb R\setminus [0,1]$ tiene más de dos bases $10$ expansiones, se puede escribir como $x=\mathrm{sgn}(x)(\lfloor x\rfloor+a)$ , dónde $a\in[0,1)$ , y por necesidad $a$ tiene más de dos bases $10$ expansiones

Para ser claro, debo definir lo que quiero decir con base- $10$ expansión. Dejar $N\in[0,1]$ . Entonces una expansión decimal de $N$ es una secuencia $\delta=(\delta_0,\delta_1,\delta_2,...)$ de enteros $0\le \delta_i\le 9$ tal que

σ (d) := \sum_{i \geq 0} \frac{d_{i}}{10^{i}} = norte .

$\sigma(\delta):=\sum_{i\ge0}\frac{\delta_i}{10^i}=N.$ Además, deja

U = {(a_{0}, a_{1}, a_{2}, . . .) : 0 \leq a_{i} \leq 9, a_{i} \in Z}

$\mathcal U=\{(a_0,a_1,a_2,...):0\le a_i\le 9,\, a_i\in\Bbb Z\}$ y deja

D_{norte} = {d \in tu : σ (d) = norte} .

$D_N=\{\delta\in\mathcal U :\sigma(\delta)=N\}.$ Por último, deja

C_{k} = {norte \in [0, 1] : # (D_{norte}) \geq k}, k \in norte

$\mathcal C_k=\{N\in[0,1]:\#(D_N)\ge k\},\qquad k\in\Bbb N$ dónde

# (S)

$\#(S)$ es el número de elementos en el conjunto

S

$S$ .

Asi es $\mathcal C_k$ vacío para $k>2$ ?

Juan muestras

La única forma de obtener dos es si los dígitos finalmente se estabilizan en cero. Pareces saber que si estás en tal caso, de hecho hay dos. Si no se estabilizan a cero, entonces deje

δ_{n}

$\delta_n$ ser el primer dígito en que dos representaciones difieren. Luego suma

Σ_{n}^{\infty} 10^{- k} (δ_{k} - δ_{k}^{'})

$\Sigma_n^\infty 10^{-k}(\delta_k - \delta_k')$ y esto será menos de uno (pero no cero) así que mod

1

$1$ serán números diferentes. Para un número que eventualmente se estabiliza (digamos en decimal

n

$n$ ), multiplicar por

10^{n}

$10^n$ y simplemente use un argumento de límite de cualquier lado en su intervalo

[0, 1]

$[0,1]$ .

Andrei

haría

1.000000000.....

$1.000000000.....$ con el "último" dígito de

1

$1$ después de un número infinito de

0

$0$ ¿Calificaría como una expansión diferente?

usuario239203

@Andrei ¿Se ajusta a la definición dada de expansión decimal? Si es así, si, si no, no.

clatratus

@Andrei sí contaría, como

δ = (1, 0, 0, 0, . . .)

$\delta=(1,0,0,0,...)$ de hecho satisface

σ (d) = 1

$\sigma(\delta)=1$

Respuestas (1)

¿Cuántas expansiones decimales en base 101010 puede tener un número real?

La única forma de obtener dos es si los dígitos finalmente se estabilizan en cero. Pareces saber que si estás en tal caso, de hecho hay dos. Si no se estabilizan a cero, entonces deje $\delta_n$ ser el primer dígito en que dos representaciones difieren. Luego suma $\Sigma_n^\infty 10^{-k}(\delta_k - \delta_k')$ y esto será menos de uno (pero no cero) así que mod $1$ serán números diferentes. Para un número que eventualmente se estabiliza (digamos en decimal $n$ ), multiplicar por $10^n$ y simplemente use un argumento de límite de cualquier lado en su intervalo $[0,1]$ .
haría $1.000000000.....$ con el "último" dígito de $1$ después de un número infinito de $0$ ¿Calificaría como una expansión diferente?
@Andrei ¿Se ajusta a la definición dada de expansión decimal? Si es así, si, si no, no.
@Andrei sí contaría, como $\delta=(1,0,0,0,...)$ de hecho satisface $σ (d) = 1$ $\sigma(\delta)=1$

Aryaman Maithani · Answer 1

$\cal C_k$ es de hecho vacío para $k > 2$ .

Supongamos que un número tiene dos expansiones decimales distintas $\delta = (\delta_0, \delta_1, \delta_2, \ldots)$ y $\delta' = (\delta_0', \delta'_1, \delta'_2, \ldots)$ . Entonces, debemos tener

0 = \sum_{i \geq 0} \frac{d_{i} - d_{i}^{'}}{10^{i}} .

$0 = \sum_{i \ge 0}\dfrac{\delta_i - \delta'_i}{10^i}.$

Wlog, podemos suponer que $\delta_0 \neq \delta'_0$ . (Debe haber algunos más pequeños $i$ por lo que son desiguales. Multiplicando por una potencia adecuada de $10$ , podemos suponer que es $i = 0$ .) Además, podemos suponer que $\delta_0 > \delta'_0$ .

Así, tenemos

1 \leq d_{0} - d_{0}^{'} = \sum_{i \geq 1} \frac{d_{i}^{'} - d_{i}}{10^{i}} .

$1 \le \delta_0 - \delta'_0 = \sum_{i \ge 1}\dfrac{\delta'_i - \delta_i}{10^i}.$

Tomando valor absoluto en todos los lados y usando la desigualdad triangular para la serie, vemos que

1 \leq d_{0} - d_{0}^{'} \leq \sum_{i \geq 1} \frac{| d_{i}^{'} - d_{i} |}{10^{i}} \leq \sum_{i \geq 1} \frac{9}{10^{i}} = 1.

$1 \le \delta_0 - \delta'_0 \le \sum_{i \ge 1}\dfrac{|\delta'_i - \delta_i|}{10^i} \le \sum_{i \ge 1}\dfrac{9}{10^i} = 1.$

Por lo tanto, tenemos igualdad en todo. Tenga en cuenta que esto significa que $|\delta'_i - \delta_i| = 9$ para todos $i$ . De hecho, vemos que $\delta'_i - \delta_i$ debe tener el mismo signo para todos $i$ . Este signo debe, por supuesto, ser positivo.

Así, tenemos $\delta_0 = \delta'_0 + 1$ y $\delta_i = 0$ para todos $i \ge 1$ , $\delta'_i = 9$ para todos $i \ge 1$ .

(Todas las manipulaciones anteriores se justificaron ya que la serie convergió absolutamente).

Lo anterior muestra que si un número tiene dos expansiones decimales, en realidad debe ser solo una variante de $1 = 0.\bar{9}$ . En particular, hay como máximo dos expansiones decimales.

Entonces, $\mathcal C_{3}$ está vacío porque hay como máximo $2$ maneras de usar el $1=0.\bar{9}$ ¿truco?
Sí. He demostrado que si dos representaciones distintas representan el mismo número, entonces $\delta_i$ y $\delta'_i$ todos están determinados por $i \ge 1$ . Además, $\delta_0$ y $\delta'_0$ se arreglará mirando $\lfloor x \rfloor$ . Entonces, dado un número que tiene dos expansiones decimales distintas, en realidad he mostrado lo que ambos deben ser, de manera exhaustiva. (En particular, no hay una tercera posibilidad).
Ah, ya veo. Entonces, dadas secuencias distintas $\delta$ y $\delta'$ con $\sigma(\delta)=\sigma(\delta')=N$ , y una tercera secuencia $\alpha$ con $\sigma(\alpha)=N$ entonces $\alpha$ debe ser cualquiera $\delta$ o $\delta'$ . ¡Muy inteligente! +1
@AMDG: (Supongo que su base sigue siendo un número entero). Teniendo en cuenta que la base es $b \geqslant 2$ , reemplace todas las instancias de $10$ arriba con $b$ y $9$ con $b - 1$ . El resultado análogo sigue. (Tenga en cuenta que $\sum_{i ⩾ 1} \frac{b - 1}{b^{i}} = 1$ $\sum_{i \geqslant 1} \frac{b - 1}{b^i} = 1$ aún mantiene.)
@AryamanMaithani En otras palabras, para todas las bases, ¿siempre hay dos representaciones?
@AMDG: hay como máximo dos representaciones de cualquier número real, sí. (Nuevamente, asumiendo una base entera que es al menos $2$ .)

¿Cuántas expansiones decimales en base 101010 puede tener un número real?

clatratus

Juan muestras

Andrei

usuario239203

clatratus

Respuestas (1)

Aryaman Maithani

clatratus

Aryaman Maithani

clatratus

AMDG

Aryaman Maithani

AMDG

Aryaman Maithani

¿Es cierto que 0.999999999…=10.999999999…=10.999999999\ldots=1?

¿Qué es una expansión decimal?

Confusión de definición de discontinuidades

Expansiones decimales y conectividad topológica

Demostrar que una función tiene una discontinuidad en 0 pero continua en cualquier otro lugar

Demostrando la aproximación de forma cerrada de la relación de recurrencia Xk=kXk−1Xk=kXk−1X_k=\frac{k}{X_{k-1}}

Resolver una ecuación formal en serie de potencias

convergencia de la serie ∑un,un=nnxnn!∑un,un=nnxnn!\sum u_n, u_n = \frac{n^nx^n}{n!} para x>0x>0x>0

El cuadrado abierto (0,1)×(0,1)(0,1)×(0,1)(0,1) \times (0,1) invectivamente mapeado en el intervalo (0,1)( 0,1)(0,1)

¿Sucesión convergente en espacio métrico completo que no es de Cauchy?