Función de partición para modelo XY clásico 2D

Question

Función de partición para modelo XY clásico 2D

Física
modelo-ising
función de partición
mecánica estadística

Mate

Estudiando el modelo XY clásico ( https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_XY_model ), deseo calcular la función de partición:

Z = \int d s {mi}^{- β H (s)}

$\begin{equation} Z=\int \mathrm{d}\mathbf{s}\; e^{-\beta H(\mathbf{s})} \end{equation}$ Dónde

H

$H$ es:

H (s) = - \sum_{i \neq j} j_{i j} s_{i} \cdot s_{j} - \sum_{j} h_{j} \cdot s_{j}

$\begin{equation} H(\mathbf{s})=-\sum_{i \neq j} J_{i j} \mathbf{s}_{i} \cdot \mathbf{s}_{j}-\sum_{j} \mathbf{h}_{j} \cdot \mathbf{s}_{j} \end{equation}$

El modelo asume que $\mathbf{s}_{j}$ son vectores unitarios: $\mathbf{s}_{j}=\left(\cos \theta_{j}, \sin \theta_{j}\right)$ .

De wikipedia y varios artículos, parece que la integración en todos los ángulos posibles $\theta_j$ es la manera de hacerlo.

¿Por qué no podemos desacoplar los giros y luego integrarlos directamente sobre $(\mathbf{s}_i)_x\in [-1,1]$ ?
El artículo de Wikipedia se integra sobre ángulos, ¿por qué no hay un factor adicional? $-\sin(\theta_i)\mathrm{d} \theta_i$ frente a la exponencial debido al cambio de variables? Desde $\mathrm{d} s_i=-\sin(\theta_i)\mathrm{d} \theta_i$ . Wikipedia no incluye este término:

Z = \int_{[- π, π]^{Λ}} \prod_{j \in Λ} d θ_{j} {mi}^{- β H (s)}

$Z=\int_{[-\pi, \pi]^{\Lambda}} \prod_{j \in \Lambda} d \theta_{j} e^{-\beta H(\mathbf{s})}$

Respuestas (1)

Función de partición para modelo XY clásico 2D

Shelby · Answer 1

Puedes integrar más $\mathbf{s}$ , pero también hay que imponer la restricción de que $\|\boldsymbol{s}\|=1$ , que no parece estar presente en su función de partición: $Z=\int \mathrm{d}\mathbf{s}\; e^{-\beta H(\mathbf{s})}$ . Por ejemplo, probablemente pueda agregar la restricción usando la función delta de Dirac como $Z=\int \mathrm{d}\mathbf{s}\; \delta(\mathbf{s}^2-1) e^{-\beta H(\mathbf{s})}$ , pero no me molestaría en hacer eso.

Con la restricción, para el giro termina con un solo grado de libertad, que es el ángulo, por lo que la integral sobre el ángulo es correcta.

Función de partición para modelo XY clásico 2D

Mate

Respuestas (1)

Shelby

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