Partición canónica de un gas bosón [duplicado]

bosónico$1D$ $N$Los osciladores armónicos permiten "excepcionalmente" una forma cerrada de la función de partición canónica:

$Z_{N}=\prod_{n=1}^{N}\frac{q^{1/2}}{1-q^{n}}$dónde$q=e^{-\beta \hbar \omega}$

Esta expresión se asemeja a una especie de gran función de partición canónica para un sistema de "fonones" bosónicos que tienen un número finito de posibles espectros de energía con potencial químico nulo.

Se puede derivar esta expresión observando,

Área de un cuadro de Young = suma de la longitud de las columnas = suma de la longitud de las filas

Comencemos contando las formas en que se pueden contar los estados. Para un gas clásico de partículas indistinguibles, el espectro de energía es continuo y puede haber degeneración. Asumiré que sabe cómo derivar esto de las estadísticas de MB y cómo incluir los efectos del conteo excesivo debido a la indistinguibilidad.

Esencialmente, debe sumar las probabilidades no normalizadas de todas las diferentes formas en que los bosones pueden ocupar los niveles de energía espaciados por enteros del SHO. es más fácil derivar en el conjunto grancanónico porque la restricción de un número de partículas fijo hace que la suma sea más difícil.

La función de partición canónica se puede escribir en la base de energía como,

$$Z_{can} =tr(e^{-\beta H}) = \sum_{\{n(j)\}}exp\left(-\beta \sum_j \hbar\omega(j+\frac{1}{2})n(j)\right)$$

sujeto a la restricción,

$$\sum_j n(j) = N.$$

En la práctica, esta suma es difícil, razón por la cual la gente normalmente usa la función de gran partición para construir funciones de partición. Podemos relajar esta restricción introduciendo un potencial químico. Entonces,

$$Z_{GC} = \prod_{j}\left[ 1-exp\left(\beta \mu - \beta \hbar\omega(j+\frac{1}{2})\right) \right]^{-1}$$