Prueba Quantum Stat-Mech de una desigualdad para la función de partición

Tengo el siguiente problema que no pude resolver para la clase, pero tuve un par de primeros pasos con los que comencé y que no puedo terminar. Sé que no puedo obtener esto porque ya se entregó, pero me gustaría ver si esta era una opción viable para hacer esta prueba en primer lugar.

``Dado un conjunto ortogonal de estados, { ϕ norte } , y un hamiltoniano, H ^ , demuestre que la función de partición, q β , cumple lo siguiente

q β ≥ ∑ norte Exp ⁡ { − β ⟨ ϕ norte | H ^ | ϕ norte ⟩ }
manteniendo la igualdad cuando el ϕ norte los estados son estados propios del hamiltoniano.''

Empecé dejando caer la identidad en la exponencial (como estados propios del hamiltoniano)

∑ norte Exp ⁡ { − β ∑ k ⟨ ϕ norte | ψ k ⟩ ⟨ ψ k | H ^ | ϕ norte ⟩ } = ∑ norte Exp ⁡ { − β ∑ k mi k | C norte k | 2 }
Entonces me quedo con demostrar que
∑ norte Exp ⁡ { − β ∑ k mi k | C norte k | 2 } ≤ ∑ k Exp ⁡ { − β mi k }
con la igualdad apareciendo de nuevo de la misma manera, con un delta de Kronecker d norte k colapsando la suma en la exponencial.

Me doy cuenta de que no llegué muy lejos, por lo que esta podría no ser la mejor manera de mostrar esto, pero parece manifiestamente cierto con solo mirarlo, pero en realidad no puedo mostrarlo. ¿Alguien tiene alguna pista sobre cómo continuar con esto?

Respuestas (1)

Aquí hay una prueba esbozada de la desigualdad. El problema es demostrar que

∑ norte ⟨ ϕ norte | mi − β H ^ | ϕ norte ⟩   ≥ ?   ∑ norte mi − β ⟨ ϕ norte | H ^ | ϕ norte ⟩ , ( 1 )

donde el hamiltoniano H ^ es un operador autoadjunto, y | ϕ norte ⟩ denotan vectores base ortonormales en el espacio de estados de Hilbert. Los izq. de la ec. (1) es la función de partición T r ( mi − β H ^ ) . escalando H ^ , podemos suponer que β = − 1 . La desigualdad (1) seguiría si podemos mostrar la desigualdad para todos y cada uno de los sumandos

⟨ ϕ norte | mi H ^ | ϕ norte ⟩   ≥ ?   mi ⟨ ϕ norte | H ^ | ϕ norte ⟩ , ( 2 )

o de manera equivalente, en una notación simplificada para fijos norte ,

⟨ mi H ^ ⟩   ≥ ?   mi ⟨ H ^ ⟩ . ( 3 )

Pero la ec. (3) es simplemente la desigualdad de Jensen para una función convexa (con la función exponencial desempeñando el papel de la función convexa).

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