Modelo de Ising en 1 dimensión

Question

Modelo de Ising en 1 dimensión

sreeram

¿Cómo resolver el modelo de Ising en 1D por expansión a baja y alta temperatura, y por cambio de método de variable? ¿Puede por favor darme algunos enlaces de referencia?

Leongz

El capítulo 7 de "Física estadística de campos" de Kardar explica la expansión a baja y alta temperatura del modelo de Ising.

Vibert

Aunque he tenido que hacer estas expansiones yo mismo, nunca las he visto en la literatura. Pero una vez que hayas visto cómo funciona en 2D, es muy sencillo generalizar a 1D (el conteo es mucho más sencillo).

Respuestas (2)

Modelo de Ising en 1 dimensión

El capítulo 7 de "Física estadística de campos" de Kardar explica la expansión a baja y alta temperatura del modelo de Ising.
Aunque he tenido que hacer estas expansiones yo mismo, nunca las he visto en la literatura. Pero una vez que hayas visto cómo funciona en 2D, es muy sencillo generalizar a 1D (el conteo es mucho más sencillo).

yvan velenik · Answer 1

Desafortunadamente, no conozco ninguna buena referencia, aunque espero que esto se haga en varios libros de texto. Tampoco tengo tiempo para una respuesta detallada, por lo que en cada caso elegiré las condiciones de contorno simplificando los cálculos (por supuesto, esto no tiene impacto en la densidad de energía libre límite).

Expansión a alta temperatura

Consideraré el modelo 1d Ising con $+$ condición de contorno en la caja $\{1,\ldots,L\}$ , es decir, considero el hamiltoniano

H (σ) = - β \sum_{i = 0}^{L} σ_{i} σ_{i + 1},

$H(\sigma) = - \beta \sum_{i=0}^L \sigma_i\sigma_{i+1},$ con condición de contorno

σ_{0} = σ_{L + 1} = 1

$\sigma_0=\sigma_{L+1}=1$ . La expansión a alta temperatura equivale a observar que

{mi}^{β σ_{i} σ_{i + 1}} = aporrear (β) (1 + σ_{i} σ_{i + 1} bronceado (β)) .

$e^{\beta\sigma_i\sigma_{i+1}} = \cosh(\beta) \bigl(1+\sigma_i\sigma_{i+1}\tanh(\beta)\bigr).$ Esto implica que

Z_{L}^{+ +} = \sum_{\begin{matrix} σ_{i} = \pm 1 \\ i = 1, \dots, L \end{matrix}} \prod_{i = 0}^{L} {mi}^{β σ_{i} σ_{i + 1}} = (aporrear (β))^{L + 1} \sum_{\begin{matrix} σ_{i} = \pm 1 \\ i = 1, \dots, L \end{matrix}} \prod_{i = 0}^{L} (1 + σ_{i} σ_{i + 1} bronceado (β)) .

$Z_L^{++} = \sum_{\substack{\sigma_i=\pm 1\\i=1,\ldots,L}} \prod_{i=0}^L e^{\beta\sigma_i\sigma_{i+1}} = (\cosh(\beta))^{L+1}\, \sum_{\substack{\sigma_i=\pm 1\\i=1,\ldots,L}} \prod_{i=0}^L \bigl( 1+\sigma_i\sigma_{i+1}\tanh(\beta) \bigr).$ Ampliación de los rendimientos del producto.

\prod_{i = 0}^{L} (1 + σ_{i} σ_{i + 1} bronceado (β)) = \sum_{mi} bronceado (β)^{| mi |} \prod_{(i, i + 1) \in mi} σ_{i} σ_{i + 1},

$\prod_{i=0}^L \bigl( 1+\sigma_i\sigma_{i+1}\tanh(\beta) \bigr) = \sum_E \tanh(\beta)^{|E|}\prod_{(i,i+1)\in E} \sigma_i\sigma_{i+1},$ donde la suma es sobre colecciones

E

$E$ de bordes

(i, i + 1)

$(i,i+1)$ entre vértices de

{0, \dots, L + 1}

$\{0,\ldots,L+1\}$ , y

| E |

$|E|$ denota la cardinalidad de

E

$E$ .

Intercambiando las sumas sobre espines y aristas, obtenemos

Z_{L}^{+ +} = (aporrear (β))^{L + 1} \sum_{mi} bronceado (β)^{| mi |} \sum_{\begin{matrix} σ_{i} = \pm 1 \\ i = 1, \dots, L \end{matrix}} \prod_{(i, i + 1) \in mi} σ_{i} σ_{i + 1} .

$Z_L^{++} = (\cosh(\beta))^{L+1}\,\sum_E \tanh(\beta)^{|E|} \sum_{\substack{\sigma_i=\pm 1\\i=1,\ldots,L}}\prod_{(i,i+1)\in E} \sigma_i\sigma_{i+1}.$ La última suma se evalúa fácilmente. Denotemos por

I_{E} (i)

$I_E(i)$ el número de aristas de

E

$E$ incidente en

i

$i$ (entonces,

I_{E} (i) \in {0, 1, 2}

$I_E(i)\in\{0,1,2\}$ ). Tenemos

\sum_{\begin{matrix} σ_{i} = \pm 1 \\ i = 1, \dots, L \end{matrix}} \prod_{(i, i + 1) \in mi} σ_{i} σ_{i + 1} = \prod_{i = 1}^{L} (\sum_{σ_{i} = \pm 1} σ_{i}^{I_{mi} (i)}) .

$\sum_{\substack{\sigma_i=\pm 1\\i=1,\ldots,L}}\prod_{(i,i+1)\in E} \sigma_i\sigma_{i+1} = \prod_{i=1}^L \bigl( \sum_{\sigma_i=\pm 1} \sigma_i^{I_E(i)} \bigr).$ Desde

\sum_{σ_{i} = \pm 1} σ_{i}^{I_{E} (i)} = 0

$\sum_{\sigma_i=\pm 1} \sigma_i^{I_E(i)}=0$ si

I_{E} (i)

$I_E(i)$ es impar, vemos que solo hay dos conjuntos

E

$E$ dando una contribución distinta de cero: el conjunto vacío y el conjunto completo. En ambos casos, la suma de las configuraciones de espín produce un factor

2^{L}

$2^L$ . Por lo tanto,

Z_{L}^{+ +} = (aporrear (β))^{L + 1} 2^{L} (1 + (bronceado (β)^{L + 1}) .

$Z_L^{++} = (\cosh(\beta))^{L+1} 2^L \bigl( 1+(\tanh(\beta)^{L+1} \bigr).$ Así, la energía libre está dada por

F (β) = \underset{L \to \infty}{límite} - \frac{1}{β L} registro Z_{L}^{+ +} = - \frac{1}{β} (registro aporrear (β) + registro 2) .

$f(\beta) = \lim_{L\to\infty} -\frac1{\beta L} \log Z_L^{++} = - \frac1\beta(\log\cosh(\beta) + \log 2).$

Expansión a baja temperatura

Esta vez, consideraré la condición de contorno libre. La expansión a baja temperatura se deriva del registro de todos los "contornos" que separan $+$ y $-$ giros. En la dimensión 1, esto equivale a registrar la posición de los bordes $(i,i+1)$ tal que $\sigma_i\neq\sigma_{i+1}$ .

Para hacer esto preciso, escribamos

Z_{L}^{\emptyset \emptyset} = \sum_{\begin{matrix} σ_{i} = \pm 1 \\ i = 1, \dots, L \end{matrix}} \prod_{i = 1}^{L - 1} {mi}^{β σ_{i} σ_{i + 1}} = {mi}^{β (L - 1)} \sum_{\begin{matrix} σ_{i} = \pm 1 \\ i = 1, \dots, L \end{matrix}} \prod_{i = 1}^{L - 1} {mi}^{β (σ_{i} σ_{i + 1} - 1)} .

$Z_L^{\varnothing\varnothing} = \sum_{\substack{\sigma_i=\pm 1\\i=1,\ldots,L}} \prod_{i=1}^{L-1} e^{\beta\sigma_i\sigma_{i+1}} = e^{\beta(L-1)}\, \sum_{\substack{\sigma_i=\pm 1\\i=1,\ldots,L}} \prod_{i=1}^{L-1} e^{\beta(\sigma_i\sigma_{i+1}-1)}.$ Ahora los factores en el último producto son iguales a

1

$1$ (si los giros concuerdan) o para

e^{- 2 β}

$e^{-2\beta}$ (si no lo hacen). Por lo tanto,

Z_{L}^{\emptyset \emptyset} = 2 {mi}^{β (L - 1)} \sum_{norte = 0}^{L - 1} (\binom{L - 1}{norte}) ({mi}^{- 2 β})^{norte} = 2 {mi}^{β (L - 1)} (1 + {mi}^{- 2 β})^{L - 1} .

$Z_L^{\varnothing\varnothing} = 2\, e^{\beta(L-1)}\, \sum_{n=0}^{L-1} \binom{L-1}{n} (e^{-2\beta})^n = 2\, e^{\beta(L-1)}\, (1+e^{-2\beta})^{L-1}.$ De nuevo, obtenemos

F (β) = \underset{L \to \infty}{límite} - \frac{1}{β L} registro Z_{L}^{\emptyset \emptyset} = - \frac{1}{β} (registro aporrear (β) + registro 2) .

$f(\beta) = \lim_{L\to\infty} -\frac1{\beta L} \log Z_L^{\varnothing\varnothing} = - \frac1\beta(\log\cosh(\beta) + \log 2).$

Cambio de variables

El método final que solicita es el "cambio de variables". Consideraré solo la siguiente condición de contorno: $\sigma_0=+1$ en el extremo izquierdo, pero condición de contorno libre en el extremo derecho.

El truco es cambiar las variables a $\eta_i=\sigma_{i-1}\sigma_i$ , $i=1,\ldots,L$ . Esto produce

Z_{L}^{+ \emptyset} = \sum_{\begin{matrix} σ_{i} = \pm 1 \\ i = 1, \dots, L \end{matrix}} \prod_{i = 1}^{L - 1} {mi}^{β σ_{i} σ_{i + 1}} = \sum_{\begin{matrix} η_{i} = \pm 1 \\ i = 1, \dots, L \end{matrix}} \prod_{i = 1}^{L - 1} {mi}^{β η_{i}} .

$Z_L^{+\varnothing} = \sum_{\substack{\sigma_i=\pm 1\\i=1,\ldots,L}} \prod_{i=1}^{L-1} e^{\beta\sigma_i\sigma_{i+1}} = \sum_{\substack{\eta_i=\pm 1\\i=1,\ldots,L}} \prod_{i=1}^{L-1} e^{\beta\eta_i}.$ El

η

$\eta$ los giros no interactúan, por lo que

Z_{L}^{+ \emptyset} = \prod_{i = 1}^{L - 1} (\sum_{η_{i} = \pm 1} {mi}^{β η_{i}}) = ({mi}^{β} + {mi}^{- β})^{L - 1} .

$Z_L^{+\varnothing} = \prod_{i=1}^{L-1} \bigl(\sum_{\eta_i=\pm 1} e^{\beta\eta_i}\bigr) = \bigl(e^{\beta}+e^{-\beta}\bigr)^{L-1}.$ Y por lo tanto, una última vez,

F (β) = \underset{L \to \infty}{límite} - \frac{1}{β L} registro Z_{L}^{+ \emptyset} = - \frac{1}{β} (registro aporrear (β) + registro 2) .

$f(\beta) = \lim_{L\to\infty} -\frac1{\beta L} \log Z_L^{+\varnothing} = - \frac1\beta(\log\cosh(\beta) + \log 2).$

Espero que no haya demasiados errores de cálculo (o de otro tipo), ya que tuve muy poco tiempo para escribir esto... No duden en hacer las correcciones.
: ¿podría explicar por qué eligió diferentes condiciones de contorno en diferentes problemas? (aunque sé que el sistema es termodinámicamente el mismo, ya sea que gire y junte el punto de red Lth con el primero o no, ya que L tiende a infinito)
@sreeram: en cada caso, elegí condiciones de contorno que conducen a cálculos simples. Por ejemplo, en el caso de expansión a baja temperatura, imponiendo la $++$ la condición de contorno agregaría una restricción de que el número de "paredes de dominio" debe ser par; por supuesto, esto se puede hacer, pero hace que el argumento sea un poco menos inmediato. [CONTINUARÁ]
Para el cambio de variables, la situación es similar: fijando el giro más a la izquierda para que sea $+1$ tiene la ventaja de que la transformación del $\sigma$ hacia $\eta$ variables es invertible, de lo contrario tendríamos que mantener el valor del giro original más a la izquierda $\sigma_1$ . Elegí no imponer nada en el extremo derecho del intervalo, ya que de lo contrario induciría una restricción en el producto de la $\eta$ giros.
@sreeram Los cálculos son correctos. Pero creo que la energía libre no sería $f(\beta) = \lim_{L\to\infty} -\frac1{\beta L} \log Z_L^{+\varnothing} = - \frac1\beta(\log\cosh(\beta) + \log 2)$ . La expresion $\log 2$ es sospechoso. Creo que a Velenik le gustaría que observara más cuidadosamente los cálculos.
@Math_overview: Bueno, la forma en que se definen aquí el hamiltoniano y la energía libre, el $\log 2$ el término está bien. ¿Qué te hace pensar que esto es incorrecto si estás de acuerdo con los cálculos?
@Velenik Revisé mis conclusiones anteriores. Y realmente el término $\log 2$ es apropiado. Cometí un error. O mejor dos conceptos erróneos.

Aprender es un desastre · Answer 2

Aprender es un desastre

Si no me equivoco, las expansiones a las que te refieres son relevantes solo en dos dimensiones; luego permitiéndole derivar la temperatura crítica por la dualidad de Kramer. En 1D, lo resuelves calculando la matriz de transferencia sin "expandir" (solo descuidando su valor propio más bajo). Está bien descrito en http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/statphys/five.pdf .

yvan velenik

No, estas expansiones se aplican en cualquier dimensión. En la dimensión 1, permiten un cálculo simple de la energía libre del modelo, siempre que no haya campo magnético (de lo contrario, los cálculos se vuelven más complicados que usar la matriz de transferencia). Esto también es cierto para el método de cambio de variables (que supongo se refiere al método de cambio de variables).

η_{i} = σ_{i} σ_{i + 1}

$\eta_i = \sigma_i\sigma_{i+1}$ mapeando el modelo a giros independientes), que solo es útil en la dimensión

1

$1$ .

sreeram

@YvanVelenik, por favor, dame referencias.

yvan velenik

@sreeram: No sé ninguno, pero esbozaré una respuesta más tarde si nadie lo sabe.

Vibert

@Learning es un desastre: en

D \neq 2

$D \neq 2$ dimensiones existen las mismas expansiones, pero el cuadro geométrico es diferente. En 1D, la red dual consta de sitios, en 2D de enlaces, en 3D de plaquetas, etcétera.

Aprender es un desastre

@Vibert Gracias por la precisión y por señalar mi malentendido. ¿Hay también en

D \neq 2

$D\neq 2$ ¿"dualidad gráfica" me refiero a un enlace gráfico directo entre los bucles de la expansión K alta y baja? Y no solo la igualdad algebraica entre las funciones de partición.

Vibert

Lo siento, creo que no fui lo suficientemente claro. En 3D, por ejemplo, los bucles se reemplazan por plaquetas (esencialmente cuadrados rodeados por cuatro enlaces) y así sucesivamente. Entonces no puedes jugar el mismo juego que en 2D, donde el modelo dual es el mismo que el modelo normal, aparte de un prefactor que te da la temperatura crítica. Entiendo que en 3D hay algo así como una "dualidad de indicador de giro" que mapea los hamiltonianos de giro para medir las teorías definidas en estas plaquetas, pero no es mi área de especialización.

yvan velenik

@Vibert: Lo que dijiste es correcto, pero solo para la expansión a baja temperatura. La expansión a alta temperatura siempre da lugar a colecciones de aristas, en cualquier dimensión (bueno, al menos mientras consideremos interacciones de dos cuerpos).

Vibert

Sí, por supuesto que tienes razón. Tenía miedo de confundir las expansiones de alta y baja temperatura, así que no mencioné el término explícitamente.

Modelo de Ising en 1 dimensión

sreeram

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Vibert

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Expansión a alta temperatura

Expansión a baja temperatura

Cambio de variables

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Aprender es un desastre

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