¿Qué tiene de malo mi comprobante de pedido de grupo?

Dejar$\phi: G\rightarrow H$sea ​​un isomorfismo de grupos y sea$a \in G$ser de orden$n$. Demuestre que el orden de$\phi(a)$es también$n$.

Me dieron este problema hace una semana durante una prueba y mi siguiente respuesta ha sido calificada como "parcialmente" correcta últimamente. A pesar de verificar mi prueba durante un tiempo decente, no pude entender por qué mi prueba no puede considerarse "totalmente" correcta, así que decidí preguntarla aquí con mi prueba.

Prueba:

$a\in G$es orden de$n$ $\Rightarrow$ $a^n=e_{g}$

$a^n=e_g \Rightarrow \phi(a^n)=e_{h}$

$\phi(a^n)=(\phi(a))^n \Rightarrow (\phi(a))^n=e_h$

Ahora supongamos que existe un$k<n$tal que$(\phi(a))^k=e_h$y$k$es orden de$\phi(a)$

$(\phi(a))^k=e_h \Rightarrow (\phi(a))^n=(\phi(a))^{mk+r}=(\phi(a))^r=e_h$

$(\phi(a))^r=\phi(a^r)=e_h \Rightarrow a^r \in \ker\phi$

$a^r \in \ker\phi \Rightarrow a^r=e_g$

$a^r=e_g$y$r<k \Rightarrow a$es orden de$r$

Obviamente, esto es una contradicción, por lo tanto, el orden de$\phi(a)$debe ser$n$