Diagonalización simultánea de energía potencial y cinética

Question

Diagonalización simultánea de energía potencial y cinética

Física
modos normales
mecanica clasica
osciladores acoplados

Elenco fj

Estoy tratando de probar que la expresión matricial de la energía potencial (matriz hessiana de una expansión de Taylor en varias variables del potencial) es diagonal considerando pequeñas oscilaciones, cuando se escribe en coordenadas normales. Pero, las cuentas no parecen funcionar.

Considere un potencial de un sistema de N grados de libertad $V(q_{1},...,q_{N})=v(q_{i})$ y definiendo $\vec{q}-\vec{q}_{min}=\vec{\eta}$ , dónde $\vec{q}_{min}$ es un mínimo de potencial estable:

V_{i j} = \frac{\partial V}{\partial q_{i} \partial q_{j}} (\vec{q} = {\vec{q}}_{metro i norte}) .

$V_{ij}=\frac{\partial V}{\partial q_{i}\partial q_{j}}(\vec{q}=\vec{q}_{min}).$

La transformación entre las coordenadas generalizadas $q_{i}$ y las coordenadas normales $\xi _{i}$ es:

\vec{q} = A \vec{ξ} + {\vec{q}}_{metro i norte} ⟺ q_{i} = \sum_{j}^{} A_{i j} ξ_{j} + q_{i}^{metro i norte}

$\vec{q}=A\vec{\xi }+\vec{q}_{min} \Longleftrightarrow q_{i}=\sum_{j}^{}A_{ij}\xi_{j} + q_{i}^{min}$

dónde $A$ es la matriz formada por los vectores propios del sistema:

det (V - λ^{(α)} T) = 0.

$\det(V-\lambda ^{(\alpha )}T)=0.$

Así que traté de escribir $V_{ij}$ en términos de $\xi$ :

\frac{\partial V}{\partial ξ_{i}} = \frac{\partial V}{\partial q_{i}} \frac{\partial q_{i}}{\partial ξ_{i}} = \frac{\partial V}{\partial q_{i}} \sum_{j}^{} A_{i j} d_{i j} = A_{i i} \frac{\partial V}{\partial q_{i}}

$\frac{\partial V}{\partial \xi _{i} }=\frac{\partial V}{\partial q_{i}} \frac{\partial q_{i}}{\partial \xi _{i}}=\frac{\partial V}{\partial q_{i}}\sum_{j}^{}A_{ij}\delta _{ij}=A_{ii}\frac{\partial V}{\partial q_{i}}$

\frac{\partial^{2} V}{\partial ξ_{i}^{2}} = \frac{\partial}{\partial ξ_{i}} (A_{i i} \frac{\partial V}{\partial q_{i}}) = A_{i i} \frac{\partial [\frac{\partial V}{\partial q_{i}}]}{\partial q_{i}} \frac{\partial q_{i}}{\partial ξ_{i}} = \frac{\partial^{2} V}{\partial q_{i}^{2}} A_{i i}^{2}

$\frac{\partial^{2} V}{\partial \xi _{i}^{2} }=\frac{\partial }{\partial \xi _{i}} (A_{ii}\frac{\partial V}{\partial q_{i}})=A_{ii} \frac{\partial [\frac{\partial V}{\partial q_{i}}] }{\partial q_{i}} \frac{\partial q_{i}}{\partial \xi_{i}}=\frac{\partial^{2} V}{\partial q _{i}^{2} }A_{ii}^{2}$

pero para derivadas cruzadas obtengo un resultado distinto de cero:

\frac{\partial V}{\partial ξ_{j} \partial ξ_{i}} = \frac{\partial V}{\partial ξ_{j}} (A_{i i} \frac{\partial V}{\partial q_{i}}) = A_{i i} \frac{\partial [\frac{\partial V}{\partial q_{i}}]}{\partial q_{k}} \frac{\partial q_{k}}{\partial ξ_{j}} = A_{i i} \frac{\partial^{2} V}{\partial q_{i} \partial q_{k}} \sum_{j}^{} A_{i j} d_{k j} = A_{i k} A_{i i} \frac{\partial^{2} V}{\partial q_{i} \partial q_{k}} \neq 0

$\frac{\partial V}{\partial \xi _{j}\partial \xi _{i}}=\frac{\partial V}{\partial \xi _{j}}(A_{ii}\frac{\partial V}{\partial q_{i}})=A_{ii}\frac{\partial[\frac{\partial V}{\partial q_{i}}] }{\partial q_{k}}\frac{\partial q_{k}}{\partial \xi_{j} }=A_{ii} \frac{\partial ^{2}V}{\partial q_{i} \partial q_{k}}\sum_{j}^{}A_{ij}\delta _{kj}=A_{ik}A_{ii} \frac{\partial ^{2}V}{\partial q_{i} \partial q_{k}}\neq 0$ teniendo en cuenta que podemos intercambiar el índice

k

$k$ para

j

$j$ .

¿Qué podría hacer mal? ¿Qué hice mal?

Respuestas (2)

Diagonalización simultánea de energía potencial y cinética

eli · Answer 1

\begin{aligned} con la energía potencial V = V (q) y la energía cinética T = \frac{1}{2} \dot{q} \cdot \dot{q} \\ obtienes estas ecuaciones diferenciales copuladas no lineales \\ (1) & \ddot{q} = \underset{k}{\underset{⏟}{[\frac{\partial}{\partial q} (\frac{\partial V}{\partial q})]}} q = k (q) q \end{aligned}

$\begin{align*} &\text{with the potential energy $~V=V(\boldsymbol q)~$ and the kinetic enegry $~T=\frac 12\, \boldsymbol{\dot q}\cdot \boldsymbol{\dot q} ~$}\\ &\text{ you obtain this non linear copuled differential equations}\\\\ &\boldsymbol{\ddot{q}}=\underbrace{\left[\frac{\partial}{\partial \boldsymbol q}\left(\frac{\partial V}{\partial \boldsymbol{q}}\right)\right]}_{\boldsymbol K}\,\boldsymbol q=\boldsymbol{K(\boldsymbol q)}\,\boldsymbol{q}\tag 1 \end{align*}$ dónde

$~\boldsymbol q~$ son los $n$ coordenadas generalizadas
$~\boldsymbol K~$ $n\times n~$ matriz simétrica

sustituto $~\boldsymbol q=\boldsymbol A\,\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\xi}_{\text{min}}$ en la ecuación (1) se obtiene: (donde $~\boldsymbol A~$ es la matriz de los vectores propios)

\begin{aligned} A \ddot{ξ} = [k (A ξ + ξ_{min})] (A ξ + ξ_{min}) \overset{lineal}{=} k (q = ξ_{min}) A ξ \\ (2) & \ddot{ξ} = \underset{D}{\underset{⏟}{A^{- 1} k_{L} A}} ξ \\ dónde \\ D = Diagnóstico [λ_{1}, λ_{2} \dots, λ_{norte}] \\ y \\ k_{L} = k |_{q = ξ_{min}} \end{aligned}

$\begin{align*} &\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{\ddot{\xi}}=\left[\boldsymbol{K}\left(\boldsymbol A\,\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\xi}_{\text{min}}\right)\right]\, \left(\boldsymbol A\,\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\xi}_{\text{min}}\right)\overset{\text{linear}}{=} \boldsymbol K(\boldsymbol q=\boldsymbol\xi_{\text{min}})\,\boldsymbol A\,\boldsymbol\xi\\\\ &\boldsymbol{\ddot{\xi}}=\underbrace{\boldsymbol{A}^{-1}\,\boldsymbol{K}_L\,\boldsymbol A}_{\boldsymbol D}\,\boldsymbol\xi\tag 2\\ &\text{where}\\ &\boldsymbol D=\text{Diag}\left[\lambda_1~,\lambda_2\ldots~,\lambda_n\right]\\ &\text{and}\\ &\boldsymbol{K}_L=\boldsymbol{K}\bigg|_{\boldsymbol q=\boldsymbol\xi_{\text{min}}} \end{align*}$ por lo tanto la Ec. (2) es una ecuación diferencial lineal desacoplada

ytlu · Answer 2

Estabas desordenado algunos de los índices. Primero, recuerde que cada vector de columna es un vector propio normalizado de matriz $\bf{V}$ , por lo tanto $\bf{V} \hat{A}_k = \lambda_k \hat{A}_k$ . $\hat{A}_k$ es el $k_{th}$ columna vectoe de mtrix $\bf{k}$ , en términos de forma de índice:

\sum_{j} V_{i j} A_{j k} = λ_{k} A_{i k}

$\sum_j V_{ij} A_{jk} = \lambda_k A_{ik}$

Intento reescribir tus ecuaciones:

\frac{\partial V}{\partial ξ_{i}} = \sum_{j} \frac{\partial V}{\partial q_{j}} \frac{\partial q_{j}}{\partial ξ_{i}} = \sum_{j} \frac{\partial V}{\partial q_{j}} \frac{\partial}{\partial ξ_{i}} \sum_{k} A_{j k} ξ_{k} = \sum_{j} \frac{\partial V}{\partial q_{j}} \sum_{k} A_{j k} d_{i k} = \sum_{j} \frac{\partial V}{\partial q_{j}} A_{j i}

$\frac{\partial V}{\partial \xi_i} = \sum_j \frac{\partial V}{\partial q_j}\frac{\partial q_j}{\partial \xi_i} = \sum_j \frac{\partial V}{\partial q_j}\frac{\partial }{\partial \xi_i} \sum_k A_{jk} \xi_k =\sum_j \frac{\partial V}{\partial q_j} \sum_k A_{jk} \delta_{ik} = \sum_j \frac{\partial V}{\partial q_j} A_{ji}$

\frac{\partial^{2} V}{\partial ξ_{i}^{2}} = \frac{\partial}{\partial ξ_{i}} \sum_{j} A_{j i} \frac{\partial V}{\partial q_{j}} = \sum_{k} \frac{\partial q_{k}}{\partial ξ_{i}} \frac{\partial}{\partial q_{k}} (\sum_{j} A_{j i} \frac{\partial V}{\partial q_{j}}) = \sum_{k} A_{k i} \frac{\partial}{\partial q_{k}} (\sum_{j} A_{j i} \frac{\partial V}{\partial q_{j}}) = \sum_{j} \sum_{k} A_{k i} A_{j i} \frac{\partial^{2} V}{\partial q_{k} \partial q_{j}} = \sum_{j} \sum_{k} A_{k i} A_{j i} V_{k j} = λ_{i} \sum_{k} A_{k i} A_{k i} = λ_{i} .

$\frac{\partial^{2} V}{\partial \xi _{i}^{2} }=\frac{\partial }{\partial \xi _{i}} \sum_j A_{ji}\frac{\partial V}{\partial q_{j}}= \sum_k \frac{\partial q_k}{\partial \xi _{i}} \frac{\partial}{\partial q_k} \left( \sum_j A_{ji}\frac{\partial V}{\partial q_{j}} \right) = \sum_k A_{ki} \frac{\partial}{\partial q_k} \left( \sum_j A_{ji}\frac{\partial V}{\partial q_{j}} \right) \\ = \sum_j\sum_k A_{ki}A_{ji} \frac{\partial^2 V}{\partial q_k \partial q_j} =\sum_j\sum_k A_{ki}A_{ji} V_{kj} = \lambda_i \sum_k A_{ki} A_{ki} = \lambda_i.$

\frac{\partial^{2} V}{\partial ξ_{pag} \partial ξ_{q}} = \frac{\partial}{\partial ξ_{pag}} \sum_{j} A_{j q} \frac{\partial V}{\partial q_{j}} = \sum_{k} \frac{\partial q_{k}}{\partial ξ_{pag}} \frac{\partial}{\partial q_{k}} (\sum_{j} A_{j q} \frac{\partial V}{\partial q_{j}}) = \sum_{k} A_{k pag} \frac{\partial}{\partial q_{k}} (\sum_{j} A_{j q} \frac{\partial V}{\partial q_{j}}) = \sum_{j} \sum_{k} A_{k pag} A_{j q} \frac{\partial^{2} V}{\partial q_{k} \partial q_{j}} = \sum_{j} \sum_{k} A_{k pag} A_{j q} V_{k j} = λ_{q} \sum_{k} A_{k pag} A_{k q} = 0

$\frac{\partial^{2} V}{\partial \xi _{p} \partial \xi _{q}}=\frac{\partial }{\partial \xi_ {p}} \sum_j A_{jq}\frac{\partial V}{\partial q_{j}}= \sum_k \frac{\partial q_k}{\partial \xi _{p}} \frac{\partial}{\partial q_k} \left( \sum_j A_{jq}\frac{\partial V}{\partial q_{j}} \right) = \sum_k A_{kp} \frac{\partial}{\partial q_k} \left( \sum_j A_{jq}\frac{\partial V}{\partial q_{j}} \right) \\ = \sum_j\sum_k A_{kp}A_{jq} \frac{\partial^2 V}{\partial q_k \partial q_j} = \sum_j\sum_k A_{kp}A_{jq} V_{kj} = \lambda_q \sum_k A_{kp} A_{kq} = 0$

Gracias, ha sido de mucha ayuda, solo una pregunta, la ecuacion de valor propio del sistema tiene la forma $V \cdot \vec{a_{k}} = \lambda_ {k} T \cdot \vec {a_ {k}}$ , entonces la matriz A formada por los vectores columna $\vec{a_{k}}$ y la matriz diagonal $D = diag (\lambda_ {1}, .., \lambda_ {k}, ..,\lambda_ {N})$ ¿Cuál es la matriz que está diagonalizada en la forma $ADA^{-1}$ ?.
$\bf{D} = \bf{A}^T \bf{V} \bf{A}$ . La matriz $\bf{V}$ está diagonalizado por una matriz ortogonal $\bf{A}$ matriz digital intp $\bf{D}$ . Por lo tanto, la expansión del potencial cerca del punto de equilibrio $q_{min}$ no tendrá términos cruzados. $V(q) = \sum_i\sum_j V_{ij} q_i q_j = \sum_i D_{ii} \xi_i^2$ . Esta es la llamada matriz dinámica.

Diagonalización simultánea de energía potencial y cinética

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