¿*Todos* los sistemas planos/2D son integrables?

Una declaración de integrabilidad global para sistemas 2D generales no se cumple, pero una declaración de integrabilidad local es verdadera. Reformulemos la pregunta OP de la siguiente manera.

Supongamos que tenemos un problema bidimensional de primer orden

$$\dot{x}~=~f(x,y), \qquad \dot{y}~=~g(x,y), \tag{1}$$ dónde$f$y$g$son dos funciones suaves dadas. es la ec. (1) un sistema hamiltoniano $$\dot{x}~=~\{x,H\}, \qquad \dot{y}~=~\{y,H\}, \tag{2}$$ con una estructura simpléctica$\{\cdot,\cdot\}$y hamiltoniano$H(x,y)$?

La respuesta es, quizás sorprendente: sí, siempre, al menos localmente. el hamiltoniano$H$es la integral de movimiento buscada /primera integral .

1. Prueba: en dos dimensiones, un corchete de Poisson está completamente especificado por las relaciones fundamentales del corchete de Poisson

   $$\{x,y\} ~=~B(x,y)~=~-\{y,x\}, \qquad \{x,x\}~=~0~=~\{y,y\}, \tag{3}$$ dónde$B$es alguna función que no toma el valor cero. [Ejercicio: Comprobar que las ecs. (3) automáticamente satisfacen la identidad de Jacobi .] Las ecuaciones de Hamilton. (2) convertirse $$\dot{x}~=~B\frac{\partial H}{\partial y}, \qquad \dot{y}~=~-B\frac{\partial H}{\partial x}.\tag{4}$$ A continuación, considere la forma única $$\eta ~:=~ f{\rm d}y -g{\rm d}x, \tag{5}$$ que es posiblemente un diferencial inexacto . Sin embargo, se sabe a partir de la teoría de las EDP que existe localmente un factor de integración$\frac{1}{B}$, de modo que la forma única $$\frac{1}{B}\eta~=~{\rm d}H \tag{6}$$ es localmente un diferencial exacto dado por alguna función$H$. Es sencillo comprobar que se puede utilizar$B$como la estructura de Poisson (3) y$H$como el hamiltoniano.$\Box$

2. Observación. La existencia de un par de variables canónicas$q(x,y)$y$p(x,y)$, con$\{q,p\}=1$, están, a su vez, garantizados localmente por el Teorema de Darboux .

3. Ejemplo: Si$f$y$g$son funciones homogéneas del mismo orden, y si se elige

   $$B~=~ y f - x g, \tag{7}$$ entonces se puede comprobar que la forma única$\frac{1}{B}\eta$está cerrado. un hamiltoniano$H$por lo tanto, se puede encontrar a través de la integración de contorno de la forma única (6).

4. Ejemplo: oscilador amortiguado 1D : Ecs. de movimiento:

   $$\dot{v}~=~-2bv-\omega^2x, \qquad \dot{x}~=~v. \tag{8}$$ Soporte venenoso: $$B(x,v) ~=~ v^2 + 2 b v x + \omega^2 x^2. \tag{9}$$ hamiltoniano: $$\begin{align} H(x,v)~=~&\frac{1}{2}\ln|B(x,v)|\cr ~+~&\left\{\begin{array}{ccr} \frac{b}{\sqrt{\omega^2-b^2}}\arctan\frac{\sqrt{\omega^2-b^2} x}{v + b x}&\text{if underdamped}& |b|~<~ \omega,\cr\cr \frac{bx}{v + b x}&\text{if critically damped}& |b|~=~ \omega,\cr\cr \frac{b}{\sqrt{b^2-\omega^2}}\left\{\begin{array}{c}{\rm artanh}\cr{\rm arcoth}\end{array}\right\}\frac{\sqrt{b^2-\omega^2} x}{v + b x}&\text{if overdamped}& |b|~>~ \omega.\cr \end{array} \right.\tag{10} \end{align}$$

5. Ejemplo: Math.SE q1577274 .

6. Contraejemplo. Soluciones a diff. ecuaciones existen en general sólo localmente. Considerar

   $$f(q,p)~=~\frac{q}{q^2+p^2}\quad\text{and}\quad g(q,p)~=~\frac{p}{q^2+p^2}\tag{11}$$ en el dominio$D=\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\},$que no es contraible. Es relativamente sencillo comprobar que $$\eta~=~f\mathrm{d}p-g\mathrm{d}q ~=~\frac{q\mathrm{d}p-p\mathrm{d}q}{q^2+p^2} \tag{12}$$ es un cerrado$1$-forma, y ​​no existe un hamiltoniano globalmente definido$H$en$D$tal que las ecs. (2) están satisfechos. Lo mejor que se puede hacer es poner$H$igual a una rama de un solo valor de${\rm arg}(q+ip)$, que no está definido globalmente.

7. Contraejemplo: Dominio contráctil sin solución global: Math.SE q2710698 .