Modos normales: cómo obtener masas reducidas a partir de vectores de desplazamiento, masas atómicas y frecuencias vibratorias

Ha pasado mucho tiempo desde que traté con los modos normales (y estaba en un sistema completamente diferente), así que espero no equivocarme por completo :-)

En primer lugar, las dos ecuaciones que escribe al final de su pregunta son esencialmente la misma ecuación escrita de manera diferente. Resolviendo la Ec. (2) obtienes valores propios (que están vinculados a las frecuencias) y vectores propios (que están vinculados a los desplazamientos de los átomos, ponderados por su masa). Sin embargo, eché un vistazo a los documentos de Amber y parece que generan cantidades no ponderadas en masa. En este caso, puede utilizar estos desplazamientos para calcular la masa reducida generalizando la conocida relación

$$\frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} + \cdots \qquad (1)$$

a un caso donde la masa de cada átomo es ponderada por sus desplazamientos. tomemos el$k$-th modo normal, que está asociado al vector propio$\mathbf{E}_k$. Este último debe normalizarse con la suma de los cuadrados, es decir, imponiendo$\sum_i E_{i,k}^2 = A$, dónde$A$es una constante y$i$recorre todos los grados de libertad ($x$,$y$y$z$coordenadas para cada átomo). El constante$A$tipo de establece el sistema de coordenadas que desea utilizar (cfr. Documentos de Gaussian). Por ejemplo, Gaussian utiliza$A = 1$. Independientemente del valor de$A$, siempre podemos definir nuestra masa reducida generalizando la ecuación. (1) y escribe:

$$\frac{1}{\mu_k} = \sum_i \frac{E_{i,k}^2}{m_i} \qquad (2)$$

dónde$m_i$es la masa asociada a la$i$-ésimo grado de libertad.

Tratemos de entender si la ecuación (2) tiene sentido con dos ejemplos simples:

• tomamos un sistema diatómico y un modo normal donde todos los componentes del vector propio tienen la misma amplitud. En este caso recuperamos la relación$\frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}$si establecemos$A = N = 2$.
• tomamos un sistema de poliátomos pero observamos un modo asociado al movimiento de un solo átomo$j$. En este caso$E_{i,k} = 0$para$i \neq j$, Lo que significa que$E_{j,k} = A$que, por$A = 1$, resulta en$\frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_j}$.