¿Existe una representación bi-4-vector de las matrices gamma de Dirac y el espinor?

Recientemente aprendí que si tienes el espinor de Dirac representado en la base de Weyl (quiral) Ψ = ( ψ L ψ R ) , luego dada una Transformación de Lorentz Λ = mi X pag [ 1 2 Ω ρ σ METRO ρ σ ] , la transformación correspondiente S [ Λ ] para Ψ → S [ Λ ] Ψ parece S [ Λ ] = mi X pag [ 1 2 Ω ρ σ S ρ σ ] . En la base quiral, esto se parece a cada uno de los ψ L y ψ R transformándose a medida que las diferentes representaciones de spin-1/2 de s o ( 3 , 1 ) .

Aquí el s o ( 3 , 1 ) El álgebra de mentira está representada por las matrices estándar de Lorentz. METRO ρ σ Para el X m transformación, y las otras matrices S ρ σ son el álgebra generada por las matrices gamma S ρ σ = 1 4 [ γ ρ , γ σ ] .

Mi pregunta es (en una redacción probablemente imprecisa), ¿es posible elegir γ m ser matrices de 8x8 de tal manera que S ρ σ = 1 4 [ γ ρ , γ σ ] = METRO ρ σ ⊕ METRO ρ σ ? es decir, podemos elegir γ m para que los componentes quirales ψ L , ψ R cada transformación como lo harían los 4 vectores?

Respuestas (2)

  1. OP aparentemente quiere discutir representaciones reducibles del álgebra de Clifford C yo ( 1 , 3 ; R ) .

  2. Concretamente, parece que OP está preguntando acerca de una representación de suma directa de 8 dimensiones

    W   :=   V ⊕ V
    de 2 copias de la representación del espinor de Dirac en 4 dimensiones
    V   :=   ( 1 2 , 0 ) ⊕ ( 0 , 1 2 ) .
    Ver también esta publicación de Phys.SE.

  3. El 8 × 8 matrices gamma

    Γ m   =   ( γ m 0 0 γ m )
    en el W -representación son matrices de bloque con 2 copias de 4 × 4 matrices gamma en el V -representación.

  4. El W -la representación de los generadores de Lorentz toma una forma diagonal de bloque similar, cf. La última pregunta de OP (v1).

Pero... este trivial representante de Gamma nunca conectará los componentes L y R, ¿no?
Estaba más preguntando si existía un ( 1 , 0 ) ⊕ ( 0 , 1 ) representación de las matrices gamma. Esta publicación parece decir que las representaciones complejas irreducibles se parecen a V.
@Joe, ya veo... siempre que aprecies esta representación, por ejemplo, el componente 0 en el término masivo, nunca mezcla los 4 componentes superiores con los cuatro componentes inferiores... lo que entendí que es la característica definitoria de L y R .... Mira a Γ 5 ; sus proyectores quirales eliminan dos dobletes en tándem.

Sin una apreciación completa de la esencia de su pregunta (¿8 × 8?), Permítanme revisar las expresiones de base quiral para γ 5 y los generadores de Lorentz S m v , que son diagonales en bloque con respecto a las proyecciones quirales, por lo que no se mezclan ψ L con ψ R , a diferencia de los γs:

γ 0 = ( 0 I 2 I 2 0 ) , γ k = ( 0 σ k − σ k 0 ) , γ 5 = ( − I 2 0 0 I 2 ) ,

S 0 j = 1 2 ( − σ j 0 0 σ j ) , S j k = i ϵ k j metro 2 ( σ metro 0 0 σ metro ) = i ϵ k j metro γ 5 S 0 metro .

Entonces, los generadores (en el álgebra), constituyen manifiestamente una representación reducida de bloques 2×2 que no interactúan.

Más formalmente, la repetición reducida 2 ⊕ 2 es

2 S 0 j = ( − σ j ) ⊕ σ j , 2 S j k = i ϵ k j metro ( σ metro ⊕ σ metro ) .

Entiendo esta parte. En la representación de Weyl de γ m que diste, la generaste S m v son bloques diagonales, y cada bloque corresponde a la S L ( 2 , C ) Álgebra de mentira. Mi pregunta era si podemos elegir las matrices gamma para que sean matrices reales de 8x8 para que S m v son bloques diagonales y corresponden a la S O ( 3 , 1 ) Álgebra de mentira. Si esto fuera cierto, podríamos tratar cada componente, ψ L , ψ R como transformándose como un vector de 4, por la expresión para S [ Λ ] dado anteriormente.
?? ¿Qué tiene de malo esta representación? Por supuesto, el álgebra de los 6 S s es el álgebra de SO(3,1); ¿Cómo podría fallar eso? Es un representante bi-espinor, actuando en 4D: ψ L ⊕ ψ R reps. ¿Quieres sumar los dos giros 1/2 de cada bloque en un giro 1 de cada uno?
No hay nada malo con la representación por decir. Quise decir que quería las 6 Ss como las mismas matrices que el Álgebra de Lorentz como se ve regularmente en el espacio 4d, o como una suma directa de ellas. Quiero saber si podemos expresar el espinor como dos espines 1 en lugar de dos espines 1/2 mediante alguna otra elección de matrices gamma que no están en C 4 X 4 , pero en R 8 X 8 . No he visto en ninguna parte que no se pueda hacer explícitamente, pero no he visto que se indique su imposibilidad, y tengo problemas para construirlos yo mismo, por eso estoy preguntando en stackexchnge
Veo. Quiere que el mapa de spinor se extienda al grupo de Lorentz. Mapea matrices complejas de 2x2 a vectores reales. Es la base de la teoría del twistor, pero una cuestión muy diferente.
Parece que estás tratando de reinventar APS , una historia lamentable...
Muchas gracias por sus respuestas, parecen buenos recursos. ¿Sería capaz de explicar cómo se relaciona mi pregunta con los twistores y APS, y por qué es una historia lamentable? Es un poco difícil obtener ideas generales de los enlaces de Wikipedia.
Lo siento, yo no. Es posible que pueda volver a escribir su pregunta a la luz de 36359 .
¿Existe una representación bi-4-vector de las matrices gamma de Dirac y el espinor?
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