¿Cuál es la diferencia entre un espinor y un vector o un tensor?

Puede ser instructivo ver las aplicaciones del álgebra de Clifford a áreas fuera de la mecánica cuántica para obtener una comprensión más geométrica de lo que realmente son los espinores.

Te envío puedo rotar un vector$a = a^1 \sigma_1 + a^2 \sigma_2 + a^3 \sigma_3$en el plano xy usando una expresión de la siguiente forma:

dónde$\psi = \exp(-\sigma_1 \sigma_2 \theta/2)= \cos \theta/2 - \sigma_1 \sigma_2 \sin \theta/2$.

Es típico en QM asignar representaciones matriciales a$\sigma_i$(y por lo tanto,$a$sería una matriz, una matriz que, sin embargo, representa un vector), pero no es necesario hacerlo. Hay muchas representaciones matriciales de este tipo que obedecen los requisitos básicos del álgebra, y podemos hablar sobre los resultados sin elegir una representación.

El objeto$\psi$es un espinor. Si quiero rotar$a'$a$a''$por otro espinor$\phi$, entonces seria

Puedo decir equivalentemente que$\psi \mapsto \psi' = \phi \psi$. Esta es la diferencia entre espinores y vectores (y por lo tanto otros tensores). Los espinores se transforman de esta forma unilateral, mientras que los vectores se transforman de forma bilateral.

Esto responde a la diferencia entre lo que son espinores y lo que son tensores; la pregunta de por qué las soluciones a la ecuación de Dirac para el electrón son espinores probablemente sea mejor para alguien mejor versado en QM que yo.

En realidad, la ecuación de Dirac es algo así como una "raíz cuadrada" de la ecuación de Klein-Gordon, por lo que intuitivamente no puede representar un vector o un tensor, ya que el espinor "simbólicamente" corresponde a una raíz cuadrada de "diferencial", por lo que las reglas de transformación tenían para diferir de los tensores (en realidad, en un sentido vago, uno está tomando la "raíz cuadrada" de las reglas de transformación del tensor, los espinores en realidad provienen de la "MITAD" de la densidad de Gram para el tensor), por lo tanto, para los vectores. La discusión anterior se puede endurecer en "Paquete principal" o más bien decir "Configuración de paquete vectorial", un libro muy bueno es "Geometría de giro (PMS-38) - Princeton University Press por HB Lawson" aquí uno puede encontrar por qué "La ecuación de Dirac "solo describe 1/2 - partículas de espín.

Una transformada de cuatro vectores bajo el grupo de Lorentz$SO(3,1)$, es decir, una "transformación estándar de Lorentz". La transformación de Lorentz para un espinor está bajo$SU(2)\times SU(2)$(para ser exactos la representación$2 \times \bar 2$) que es localmente isomorfo a$SO(3,1)$pero no lo mismo. Para obtener una mejor comprensión, puede leer el capítulo dos aquí y meditar un poco al respecto. Me tomó un tiempo tener todo ordenado en mi cabeza. (De hecho, dudo que todo esté resuelto todavía, pero al menos empiezo a entenderlo).

Spinor es un vector en base no al espacio-tiempo, sino a sus estados de espín; en cierto sentido, spinor no es un vector, ya que no se transformará a medida que transforme el espacio (rotación, etc.).

En términos generales, los tensores (incluidos escalares, vectores, tensores de rango 2, 3, 4, etc.) son solo objetos matemáticos (agrupados juntos) que se transforman a medida que la coordenada del espacio-tiempo se transforma en su totalidad. Un escalar es tal que:

Los órdenes más altos de tensores simplemente se transforman en consecuencia (agregando más términos de M).