Repeticiones de espinor en R1,3×BR1,3×B\mathbb{R}^{1,3}\times{}B espacio-tiempos

En 3+1 dimensiones, los espinores no se transforman bajo representaciones de$O(1,3)$, pero bajo representaciones del grupo de cobertura$\operatorname{Spin}(1,3)$, que tiene la misma álgebra de Lie. El grupo de estructura de una variedad semirriemanniana está determinado por la firma métrica. Por lo tanto, si la métrica es tal que$B$es similar al espacio, los espinores se transformarían bajo$\operatorname{Spin}(1,3+D)$.

(Para definir lo que quiero decir con el grupo de estructura: siempre es posible, localmente, encontrar un conjunto de campos vectoriales tal que la métrica sea diagonal. Esto se debe a que, con respecto a una base local de campos vectoriales, la métrica en cada punto en el espacio-tiempo es una matriz simétrica. El grupo de estructura es el grupo de transformaciones lineales que conserva esta forma de la métrica. De hecho, el grupo de Lorentz a menudo se define como el grupo que conserva$\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$. Por la ley de inercia de Sylvester, el grupo estructural está bien definido).

Se permite un impulso a lo largo de las direcciones compactas, porque localmente el espacio parece$\mathbb{R}^{1,3+D}$(para un espacio$B$). Puede ser que la métrica se pueda convertir en una forma

$$ds^2 = ds_0^2 + dB^2$$ dónde $ds_0^2$es distinto de cero solo para vectores tangentes a $\mathbb{R}^{1,3}$y $dB^2$es distinto de cero solo para vectores tangentes a $B$. Entonces $O(1,3) \times O(D)$es el grupo que conserva esta forma, pero el grupo de estructura completa es más grande, ya que podemos, por ejemplo, mezclar coordenadas en $\mathbb{R}^{1,3}$y en $B$.

La compacidad, o más bien la topología de$B$, puede entrar solo en el caso de que haya una obstrucción topológica para definir constantemente los espinores en una variedad. Esta condición es global, por lo que si el espacio$B$no es lo suficientemente agradable,$R^{1,3} \times B$puede que ni siquiera tenga espinores. La formulación técnica de la condición es que la segunda clase de Stiefel-Whitney debería desaparecer.