Interpretación del mar de Dirac VS la interpretación de Feynman-Stueckelberg para antipartículas

Creo que lo descubrí, así que comparto mis pensamientos aquí con la esperanza de que pueda ayudar a alguien en el futuro.

El operador helicidad es$\hat h$y su valor propio es$h$. Para estar seguros, la helicidad hacia la derecha significa que el espín y el impulso son paralelos, mientras que la helicidad hacia la izquierda significa que el espín y el impulso son antiparalelos. En cuanto al signo de$h$, esto es ambiguo, como discutiré.

1. Resolver la ecuación de Dirac con una onda plana ansatz produce dos conjuntos de soluciones,

   $$\psi_\text{pos. energy}(x) = u(p)\text{e}^{-\text{i}p^0t+\text{i}\textbf{px}},\qquad \psi_\text{neg. energy}(x) = v(p)\text{e}^{+\text{i}p^0t-\text{i}\textbf{px}}$$ donde la primera se llama "solución de energía positiva" y la segunda se llama "solución de energía negativa". En ambos casos,$p^0 = +\sqrt{\textbf p^2 + m^2}>0$.

2. Dado que una partícula con energía negativa es extraña, necesitamos alguna forma de interpretar este hecho matemático. Así que a partir de aquí, nos centraremos en este estado:

   $$\psi_\text{neg. energy}(x) = v(p)\text{e}^{+\text{i}Et-\text{i}\textbf{px}}$$

3. La interpretación del mar de Dirac (o teoría del agujero) establece que$\psi_\text{neg. energy}(x)$tiene energía$E=-p^0<0$y el impulso$-\textbf p$, pero no es observable.

4. Esto se debe a que asumimos que todos los estados de energía negativa en nuestro universo ya están llenos. Entonces, para "observar" uno de estos estados de energía negativa (que son soluciones independientes de la ecuación de Dirac, por lo que son diferentes de$\psi_\text{pos. energy}(x)$!), debemos aniquilarlos del vacío. Entonces, si aniquilamos un estado de energía, impulso y giro$(-p^0, -\textbf p, \textbf s)$, obtenemos un estado con$(+p^0, +\textbf p, -\textbf s)$. Esto es como decir, si eliminamos una carga de un Coulomb, es básicamente lo mismo que agregar una carga de menos un Coulomb.

5. Ahora podemos hablar de helicidad. Al elegir una base para$\eta_{1,2}$, decidimos una dirección para su giro. En particular, elegimos$(1,0)$y$(0,1)$y dijo que esto es una base para$\sigma^3$. Por lo tanto$\eta_1=(1,0)$significa spin-up (ya que el valor propio correspondiente de$\sigma^3$es$+1$) y$\eta_2=(0,1)$significa spin-down (ya que el valor propio correspondiente de$\sigma^3$es$-1$). Esto establece que nuestro operador de giro es

   $$\Sigma = \begin{pmatrix} \sigma^3 & 0\\0&\sigma^3 \end{pmatrix}$$

6. En cuanto al operador helicidad, tenemos que proyectar$\Sigma$a lo largo de la dirección del impulso. Desde que elegimos$p^\mu = (p^0, 0,0,p_z)^\mu$, el impulso apunta en negativo$z$dirección. (Ver punto 3). Por lo tanto, el operador de helicidad es

   $$\hat h = \begin{pmatrix} -\sigma^3 & 0\\0&-\sigma^3 \end{pmatrix}$$

7. En el límite ultrarrelativista (que simplemente tomamos para un cálculo matemático fácil, esto es válido para cualquier velocidad),$v_1(p)$es quiral derecho (solo componentes inferiores) y$v_2(p)$es quiral izquierdo (solo componentes superiores):

   $$v_1(p) = \begin{pmatrix}0\\-\sqrt{2p^0}\eta_1\end{pmatrix},\qquad v_2(p) = \begin{pmatrix}\sqrt{2p^0}\eta_2\\0\end{pmatrix}$$ Ahora podemos determinar la helicidad de dos maneras: matemáticamente evaluando el operador de helicidad$\hat h$, o físicamente preguntando si el impulso y el espín son paralelos o antiparalelos.

8. Matemáticamente:$\hat h v_1(p) = -v_1(p)$, entonces$h=-1$. Esto significa que la quiral derecha tiene una helicidad levógira. Próximo,$\hat h v_2(p) = v_1(p)$, entonces$h=+1$. Esto significa que la quiral izquierda tiene una helicidad dextrógira.

9. Físicamente: el estado quiral correcto$v_1$tiene giro apuntando en el$+z$dirección. Pero su impulso es$\textbf p = -p_z \hat z$. Por lo tanto, son antiparalelos. Una vez más, la quiral derecha tiene una helicidad levógira. A continuación, el estado quiral izquierdo$v_2(p)$tiene giro apuntando en el$-z$dirección. Y su impulso es$\textbf p = -p_z \hat z$. Por lo tanto, son paralelos. Por lo tanto, la quiral izquierda tiene una helicidad dextrógira.

10. Afortunadamente, la forma matemática y física de obtener el resultado concuerdan.

11. Finalmente, si aniquilamos el estado de energía negativa del vacío (como se discutió en el punto 4), obtendríamos un cambio de signo en el impulso, pero también en el giro (lo que significa que$\eta_1$significaría spin-down, y$\eta_2$representaría spin-up). El cambio de signo en$p$nos daría un menos adicional en el operador helicity, y la interpretación diferente de spin-up/down daría los valores propios opuestos para el$\sigma^3$dentro del operador helicidad. Esto significa que los resultados discutidos (tanto el matemático como el físico) no cambian: para "soluciones de energía negativa", quiral derecha significa helicidad levógira y quiral izquierda significa helicidad levógira.

12. La interpretación de Feynman-Stueckelberg, por otro lado, introduce el concepto de antipartículas.

13. Afirmamos que las soluciones de energía negativa en realidad viajan hacia atrás en el tiempo. La cuestión es que esta suposición es matemáticamente indistinguible de decir que tiene energía positiva y viaja hacia adelante en el tiempo:

    $$\exp(\text{i}\underbrace{p^0}_{<0} \underbrace{t}_{<0}) = \exp(\text{i}\underbrace{p^0}_{>0} \underbrace{t}_{>0})$$ sin embargo, no es el mismo estado, sino que lo llamamos antipartícula. Así es como podemos mantener la forma matemática.$\exp(+\text{i}p^0t)$(que es opuesto al factor de fase "habitual"$\exp(-\text{i}p^0t)$), e interpretarlo como energía positiva, avanzando en el tiempo, como si nada.

14. Antipartícula significa que todas las "cargas cuánticas" están invertidas. Entonces una carga eléctrica de$e$será$-e$, girar hacia arriba será girar hacia abajo. Suceden cosas similares con la hipercarga, el número de leptones, etc.

15. Consideremos de nuevo la helicidad. La cosa que está representada por$v(p)$(=la antipartícula) viaja en$\textbf p$dirección, por lo que en nuestro caso de ejemplo, viaja en positivo$z$dirección. Pero, siendo una antipartícula,$\eta_1=(1,0)$ahora significa spin-down y$\eta_2=(0,1)$ahora significa spin-up. Esto es consecuencia del mencionado volteo de todos los cargos. Ahora podemos volver a calcular la helicidad matemática y físicamente.

16. Matemáticamente: Ya que elegimos$\eta_{1,2}$como estados base de$\sigma^3$, el operador de espín es

    $$\Sigma = \begin{pmatrix} \sigma^3 & 0\\0&\sigma^3 \end{pmatrix}$$ y como viajamos en positivo$z$dirección, el operador de helicidad es $$\hat h = \begin{pmatrix} \sigma^3 & 0\\0&\sigma^3 \end{pmatrix}$$ Por lo tanto,$\hat h v_1(p) = v_1(p)$, entonces$h=+1$. Parece una helicidad de mano derecha, pero para las antipartículas, tenemos que asignar$h=\pm 1$diferentemente. En particular,$h=+1$ahora significa helicidad para zurdos. Similarmente,$\hat h v_2(p) = -v_2(p)$, entonces $h=-1, lo que ahora significa helicidad hacia la derecha.

17. Físicamente: el estado quiral correcto$v_1$tiene giro apuntando en el$-z$dirección. Su impulso es$\textbf p = +p_z \hat z$. Por lo tanto, son antiparalelos. Entonces, la quiral derecha tiene una helicidad levógira. A continuación, el estado quiral izquierdo$v_2(p)$tiene giro apuntando en el$+z$dirección. Y su impulso es$\textbf p = +p_z \hat z$. Por lo tanto, son paralelos. Por lo tanto, la quiral izquierda tiene una helicidad dextrógira.

18. Tanto la interpretación del mar de Dirac como la interpretación de Feynman-Stueckelberg conducen al mismo resultado con respecto a la helicidad. Para completar, debe mencionarse que hoy en día, la forma preferida de pensar es la interpretación de Feynman-Stueckelberg.

Estas respuestas fueron realmente útiles: uno , dos , tres ; así como los libros de texto QFT de Peskin & Schroeder, Lancaster & Blundell, Ohlsson y Thomson.