A riesgo de decirte cómo "chupar huevos" (tu nivel en estas cosas no está del todo claro), aquí va.

Ingredientes:

Los ingredientes esenciales de esta explicación son:

1. Un "sistema" físico que evoluciona y cuyos "eventos" suceden en algún espacio$\mathcal{U}$(3-espacio euclidiano ordinario o espacio-tiempo de Minkowsky, por ejemplo); en física, este espacio es siempre un espacio lineal (normalmente es el espacio-tiempo de Minkowsky) en el que suceden cosas: llamemos$\mathcal{U}$la "escena" de donde suceden las cosas de las que queremos hablar;

2. Un grupo de Lie conectado$\mathfrak{G}$que representa las transformaciones de coordenadas que puede sufrir un sistema: en física, estas son todas transformaciones lineales$\mathcal{U}\to\mathcal{U}$de la escena$\mathcal{U}$. Habitualmente en física,$\mathfrak{G} = SO^+(1,3)$(el componente conectado a la identidad del grupo de Lorentz que comprende todas las rotaciones y aumentos del "espacio físico", a veces llamado "grupo de Lorentz ortocrónico propio" (propio = determinante unimodular = 1, es decir, "no invierte el espacio" y ortocrónico = no cambiar la dirección del tiempo) o el grupo de Poincaré;

3. una cubierta de$\mathfrak{G}$; esta es casi siempre (nunca la he visto no es asi) la portada universal$\tilde{\mathfrak{G}}$de$\mathfrak{G}$como se explica en mi artículo "Lie Group Homotopy and Global Topology" en mi sitio web aquí ;

4. Un espacio vectorial$\mathcal{V}$que puede ser, por ejemplo, un espacio cuántico de estados, posiblemente de dimensión infinita y su grupo$GL(\mathcal{V})$de endomorfismos lineales, es decir , mapas lineales bijetivos$\phi:\mathcal{V}\to\mathcal{V}$. informalmente,$GL(\mathcal{V})$es el grupo de matrices invertibles que actúan sobre$\mathcal{V}$. Lo más importante: este espacio es diferente de la "escena" física$\mathcal{U}$. la escena es$\mathcal{U}$espacio-tiempo a nuestro alrededor, el espacio de estado$\mathcal{V}$es un espacio de Hilbert de estados cuánticos. Y, en realidad, aunque hablamos de un espacio de estado "lineal"$\mathcal{V}$, somos un poco descuidados: claro, todos los estados cuánticos son superposiciones lineales de la base para$\mathcal{V}$pero siempre son de magnitud unitaria: las probabilidades de que una medida "colapse" el estado en uno de los vectores base deben sumar uno: "tenemos que terminar en algún estado". Entonces, si estamos siendo precisos, tengamos en cuenta que en realidad estamos hablando de la esfera unitaria dentro$\mathcal{V}$como el estado de los estados cuánticos. Este espacio de estado es de carácter muy diferente al espacio-tiempo, donde no hay obligación de que las 4 posiciones de los eventos sean de magnitud unitaria;

5. Representaciones$\rho : \mathfrak{G}\to GL(\mathcal{V})$,$\tilde{\rho}:\tilde{\mathfrak{G}}\to GL(\mathcal{V})$de ambos$\mathfrak{G}$y su portada$\tilde{\mathfrak{G}}$, respectivamente. Recuerde que una representación de un grupo de Lie$\mathfrak{G}$es un homomorfismo de de$\mathfrak{G}$a$GL(\mathcal{V})$, es decir , una transformación que "respete el producto del grupo" de modo que, dado$\gamma,\,\zeta\in\mathfrak{G}$, tenemos$\rho(\gamma\,\zeta)=\rho(\gamma)\,\rho(\zeta)$. Y, como se discutió anteriormente, las transformaciones lineales de la forma$\rho(\gamma),\,\tilde{\rho}(\tilde{\gamma}) \in GL(\mathcal{V})$por$\gamma \in\mathfrak{G}$y$\tilde{\gamma} \in\tilde{\mathfrak{G}}$debe ser unitario para que los estados cuánticos transformados queden normalizados . Entonces podemos ver que$GL(\mathcal{V})$es muy diferente de$\mathfrak{G}$o$\tilde{\mathfrak{G}}$: ¡Los impulsos de Lorentz seguramente no son unitarios! Nosotros decimos eso$\mathfrak{G}$o$\tilde{\mathfrak{G}}$"actuar en el espacio de estado$\mathcal{V}$a través de las representaciones$\rho$,$\tilde{\rho}$".

Estoy usando aquí más de la descripción matemática de una representación, porque aquí (no siempre estoy tan preocupado) creo que es más claro que los físicos porque debemos tener en cuenta que hay dos clases diferentes de representaciones en nuestra discusión . : aquellas en las que el grupo de transformaciones de coordenadas$\mathcal{G}$actuar en el espacio de estado$\mathcal{V}$y aquellos por los cuales su cubierta $\tilde{\mathcal{G}}$actúa sobre$\mathcal{V}$.

Instrucciones para hornear: el teorema de Wigner y por qué las cubiertas son interesantes

¿Por qué estamos interesados ​​en las cubiertas en absoluto? Después de todo, los elementos de$\tilde{G}$no son la transformación de coordenadas "físicas". Aquí es donde nos encontramos con nuestro horno de cocción para nuestros ingredientes: el teorema de Wigner . Claramente, cuando nuestra escena$\mathcal{U}$sufre una transformación coordinada, entonces las transformaciones realizadas en el estado cuántico tienen que preservar los productos internos en el espacio del estado cuántico para que el estado permanezca debidamente normalizado. Solo a partir de esta suposición, es decir , NO es necesario suponer linealidad , Wigner demostró que cuando la escena$\mathcal{U}$sufre una "simetría" (una transformación de Lorentz), el espacio de estado debe sufrir un "homomorfismo proyectivo"$\sigma$, es decir, si$\gamma,\,\zeta$son dos transformaciones de Lorentz, entonces la transformación del espacio de estados correspondiente a su producto es:

El hecho de que no consigamos exactamente un homomorfismo es por lo que nos interesan las portadas: la imagen de la representación$\tilde{\rho}(\tilde{\mathfrak{G}})$(recordemos que este es un grupo de operadores unitarios en$GL(\mathcal{V})$actuando sobre el espacio de estado) de la cubierta$\tilde{\mathfrak{G}}$contiene tanto las transformaciones que cumplen la genuina$+$-homomorfismo de signo en (1) (que son simplemente operadores unitarios en la imagen$\rho(\mathfrak{G})$del grupo de transformación de coordenadas$\mathfrak{G}$) Y los que voltean el cartel. Entonces, si permitimos representaciones de la cubierta, obtenemos todas las transformaciones unitarias posibles (incluso sin una suposición de linealidad; esto se sigue automáticamente) que se pueden forjar en el espacio de estado$\mathcal{V}$cuando la escena$\mathcal{U}$se transforma

Aquí está el remate.

Estados cuánticos que transforman por las transformaciones propias de la imagen$\rho(\mathfrak{G})$de$\mathfrak{G}$bajo el homomorfismo genuino$\rho$se llaman vectores .

Estados cuánticos que transforman por las transformaciones propias de la imagen$\tilde{\rho}(\tilde{\mathfrak{G}})$de la portada $\tilde{\mathfrak{G}}$bajo el "homomorfismo proyectivo"$\tilde{\rho}$se llaman espinores .

Lo anterior se puede pensar intuitivamente de la siguiente manera: en la mecánica cuántica, una fase global$e^{i\phi}$multiplicar el estado cuántico de un sistema no afecta las mediciones que hacemos en el sistema. Entonces, a los sistemas cuánticos "no les importa si un homomorfismo es genuino o proyectivo".

La (única) portada universal del grupo Lorentz$SO(1,3)$es el grupo$SL(2,\,\mathbb{C})$. Entonces "spinors" se transforma por una representación de$SL(2,\,\mathbb{C})$. Los vectores se transforman por una representación de$SO(1,3)$. La palabra "spinor" puede ser bastante vaga en mi experiencia: puede referirse a la transformación en$SL(2,\,\mathbb{C})$en lugar del estado cuántico que es transformado por él, y la gente a menudo habla de los cuaterniones unitarios como "espinores": el capítulo 11 de "Camino a la realidad" de Roger Penrose simplemente define un espinor como algo que toma un signo negativo cuando gira a través de$2\,\pi$y vuelve a su punto de partida después de una rotación a través$4\,\pi$. En realidad, esta es una definición bastante buena, porque así es exactamente como los elementos de una representación de$SL(2,\,\mathbb{C})$actuar en el espacio de estado$\mathcal{V}$, y es la diferencia esencial entre cómo elementos de una representación de$SO(1,3)$actuar sobre espacios de estado.

Olvídese de "cantidades con dirección" como definición de vector: en física la palabra "vector" siempre habla de cómo algo se transforma cuando nuestra escena $\mathcal{U}$sufre una simetría. Recuerde que esto se acerca bastante al significado literal de la palabra vehor (transliterado como vector) que literalmente significa "Soy llevado" o "Soy llevado" en latín, por lo que se trata de cómo se transmite el "vector", ya sea por una transformación en la física. o como patógeno en biología (el significado original en inglés de la palabra).

De la pregunta, veo que está confundido por el significado de "Normalmente, los estados son vectores en espacios dimensionales infinitos", no por espinores. La función es una buena representación de un vector en el espacio infinito. Consideremos la función$\psi(\bf{r})$. Este es un vector del espacio dimensional infinito. ¿Qué pasará con esta función cuando rotamos el espacio? No ese espacio imaginario de infinitas dimensiones, sino el espacio real que es$\bf{r}$(el argumento de esa función). En el espacio real es una constante (spin$=0$) porque si rotas esa función, solo se puede hacer considerando cómo funciona el argumento de la función.$\bf{r}$se cambia cuando rotas el espacio.

Resulta que hay casos más complicados. En algunos casos hay que considerar no una función, sino dos$(\psi_{\uparrow}(\bf{r}),\psi_{\downarrow}(\bf{r}))$o tres$(\psi_{x}(\bf{r}),\psi_{y}(\bf{r}),\psi_{z}(\bf{r}))$funciones Después de las rotaciones no es suficiente simplemente reemplazar$\bf{r}$con un nuevo rotado$\bf{r}'$. Las nuevas (dos o tres) funciones serán la combinación lineal de las originales rotadas. La matriz que los conecta suele ser la matriz que describe la rotación de espinores o vectores.