Spinor de Dirac en la base quiral

En la base quiral, las matrices gamma toman la forma

$$\gamma^0=\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}, \quad \gamma^j=\begin{bmatrix}0 & -\sigma^j \\ \sigma^j & 0\end{bmatrix}$$ y, por lo tanto, se puede calcular cómo se ven los proyectores izquierdo y derecho: $$P_R=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}, \quad P_L=\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}.$$ Dado un espinor de Dirac con componentes$\psi=(\psi_1,\psi_2,\psi_3,\psi_4)^T$, está bastante claro que los espinores de Weyl deberían convertirse en $$\psi_R:=P_R\psi=\begin{pmatrix}\psi_1 \\ \psi_2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, \quad \psi_L:=P_L\psi=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ \psi_3 \\ \psi_4\end{pmatrix}$$ y uno puede reconstruir el espinor sumando ambos, como$\psi=\psi_R+\psi_L$. Sin embargo, me han dicho que sobre esta base podemos descomponer el espinor de Dirac en términos de los espinores de Weyl como $$\psi=\begin{bmatrix}\psi_R \\ \psi_L \end{bmatrix}.$$ Esto no puede ser posible, si$\psi_R$y$\psi_L$son los objetos con cuatro componentes definidos anteriormente. Entonces, probablemente sea un problema de notación; quienes son estos$\psi_R,\psi_R$y cual es su relacion con$P_R\psi, P_L\psi$?