¿Cómo se siguen las identidades de Fierz de dos componentes simples a partir de una propiedad de las matrices de Pauli?

En la página 51, Peskin y Schroeder comienzan a derivar las relaciones de intercambio básicas de Fierz utilizando espinores diestros de dos componentes. Comienzan declarando la trivial (pero tediosa) identidad de Pauli sigma

(3.77) ( σ m ) α β ( σ m ) γ d = 2 ϵ α γ ϵ β d .
Luego afirman "emparedar" esta identidad entre la parte derecha de cuatro espinores de Dirac. tu 1 , tu 2 , tu 3 , tu 4 :
( tu ¯ 1 R σ m tu 2 R ) ( tu ¯ 3 R σ m tu 4 R ) = 2 ϵ α γ tu ¯ 1 R α tu ¯ 3 R γ ϵ β d tu 2 R β tu 4 R d .
Entiendo perfectamente bien la primera identidad con elementos de la contracción del vector de Pauli, pero esta me desconcierta por completo. El siguiente paso en su cálculo intercambia índices en los símbolos de Levi-Citiva y usa esencialmente la misma ecuación en la otra dirección para obtener la identidad de Fierz esperada, así que si entendí la primera igualdad, también sabría la segunda. Sin embargo, simplemente no puedo ver cómo se sigue fácilmente de la ecuación matricial de Pauli. Por lo tanto, tengo dos preguntas.

a) ¿Existe una manera elegante de "emparedar" la identidad en cuatro espinores de Weyl diestros, o tengo que expandir manualmente los bilineales?

b) ¿La diestra realmente juega un papel aquí? Es decir, me parece que esta derivación funcionaría igual de bien con cualquier espinor zurdo, pero ¿es esto cierto?

Respuestas (1)

Es simple en realidad si lo escribes,

Tenga en cuenta que tanto la primera identidad como la segunda le dan 16 resultados escalares.

Los 16 resultados de la segunda identidad son los mismos que los 16 resultados de la primera identidad pero multiplicados con valores de los espinores. Estos factores de multiplicación adicionales son los mismos independientes para cualquiera de los factores sumados σ m .

La primera identidad usa conjuntos de matrices de 2x2 ( σ m ) dando 2x2x2x2=16 resultados.

Para la segunda identidad, puede premultiplicar las matrices 2x2 como se muestra en la imagen a continuación. Multiplique cualquiera de los subbloques de 2x2 de la primera matriz con cualquiera de los subbloques de 2x2 de la segunda matriz y obtendrá los 16 resultados individuales de la expresión "emparedada".

De hecho, no importa en absoluto si los espinores se definen como zurdos o diestros.

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