La quiralidad de la ecuación de Dirac (2+1)D

No hay una buena definición de quiralidad en (2+1)D o cualquier otra dimensión impar. Esto se debe a que el$\gamma_5$matriz no se puede definir de manera útil en un álgebra de Clifford con un número impar de generadores.

Por ejemplo, trate de definir$\gamma_5 = \gamma^0\gamma^1\gamma^2$. Esto conmuta (no anti-conmuta) con$\gamma^0,\gamma^1,\gamma^2$y por lo tanto conmuta con toda el álgebra de Clifford, incluyendo cualquier cosa como un operador de paridad. En una representación irreducible será simplemente un múltiplo de la identidad.

En (1+1) no hay problema para definir la quiralidad. Una representación común del álgebra de Clifford en términos de las matrices de Pauli es

$$\gamma^0=\sigma_2$$ $$\gamma^1=-i\sigma_1,$$ Esta es una buena representación porque $\gamma_5 = \gamma^0\gamma^1$es diagonal y además las matrices gamma son completamente imaginarias. Entonces es como la representación quiral (Weyl) y la representación de Majorana.

La ecuación de Dirac toma la misma forma, solo que con menos dimensiones de espacio-tiempo.

$$(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi =0.$$ Etiquete los dos componentes del espinor. $\psi = (\psi_L,\psi_R)^T,$entonces si escribes los componentes de la ecuación de Dirac para un espinor sin masa $$\partial_0 \psi_R = -\partial_1 \psi_R$$ $$\partial_0 \psi_L = +\partial_1 \psi_L,$$ que te dice $\psi_R$es una onda que se mueve hacia la derecha y $\psi_L$es una onda que se mueve hacia la izquierda. Pero, por supuesto, si mantiene un término de masa, las dos quiralidades se mezclan (como en 3+1).