¿Existe una prueba elegante de la existencia de los espinores de Majorana?

Casi todas las fuentes estándar sobre la existencia de los espinores de Majorana (por ejemplo, el Apéndice B.1 de la "Teoría de cuerdas" de Polchinski , Vol. 2) lo hacen de una manera que considero inherentemente fea:

A priori, estamos ante una representación compleja irreductible$(V,\rho)$del álgebra de firma de Clifford$(p,q)$, es decir, espinores de Dirac generalizados. Que los espinores de Majorana existan significa abstractamente que hay una forma real en$V$, es decir, un mapa lineal conjugado$\phi : V\to V$con$\phi^2 = \mathrm{id}_V$que viaja al menos con el$\mathfrak{so}(p,q)$acción.

Cada fuente que puedo encontrar para los espinores de Majorana usa operaciones como la transposición, la conjugación compleja y el adjunto hermitiano en el$\Gamma$-matrices para obtener matrices actuando sobre un mismo espacio . Esto es abstractamente erróneo, la transposición actúa sobre el dual, la conjugación compleja sobre el conjugado, y el adjunto hermitiano necesita un producto interno que no tenemos razón para elegir. Por supuesto, desde$V$es de dimensión finita, uno puede escoger una base y definir los isomorfismos no canónicos a su dual y su conjugado, pero encuentro esto poco elegante, particularmente porque las derivaciones estándar requieren que hagamos tal elección particular con respecto a los signos que el$\Gamma$-las matrices tienen bajo por ejemplo${}^\dagger$. Finalmente, los espinores de Majorana generalmente se definen mediante alguna ecuación que involucra un producto de aspecto arbitrario y antinatural de$\Gamma$-matrices, que varía de una fuente a otra según las diferentes convenciones de signos y elecciones de signos realizadas en el curso de la derivación.

No es elegante porque el resto de la teoría de los espinores se puede desarrollar sin tomar decisiones tan poco canónicas. Tanto la unicidad de la dimensión de las representaciones irreducibles de Dirac (hay dos de ellas en dimensiones impares) como la existencia de los espinores de Weyl en dimensiones pares pueden derivarse puramente de las propiedades abstractas del álgebra de Clifford, sin elecciones, sin transposición. , adjunto o conjugado que ocurre. La (pregunta ciertamente ligeramente subjetiva) es: ¿Hay alguna manera de mostrar en qué dimensiones existen los espinores de Majorana que no requiera una elección de base no canónica ni elecciones arbitrarias de signos?

Algunos resultados parciales:

• En dimensiones pares, la representación de Dirac es necesariamente autoconjugada ya que es la única representación irreducible del álgebra de Clifford, por lo que todo lo que queda por mostrar es que un conjugado-lineal$\mathfrak{so}$-mapa equivalente en sus cuadrados a$\mathrm{id}_V$y no a$-\mathrm{id}_V$. Sin embargo, parece que no puedo exhibir ningún mapa equivariante en particular en el que uno pueda simplemente verificar su cuadrado.

• En dimensiones impares, primero hay que averiguar si las dos representaciones de Dirac no equivalentes son conjugadas entre sí o autoconjugadas.

Como motivación adicional de que se requiere una prueba clara usando solo propiedades canónicas del álgebra de Clifford, considere las afirmaciones confusas y contradictorias en la literatura:

• Polchinski, "Teoría de cuerdas" , vol. 2, p.434:$\mathrm{SO}(d-1,1)$tiene Majoranas para$d = 0,1,2,3,4 \mod 8$, correspondiente a un caso especial de$p-q = d-1-1 = 6,7,0,1,2 \mod 8$.

• Fecko, "Geometría diferencial y grupos de mentiras para físicos" , págs. 651:$\mathrm{Cliff}(p,q)$tiene Majoranas para$p-q = 0,2\mod 8$. Esto claramente entra en conflicto con las afirmaciones de Polchinski, por ejemplo, para$d=3$.

• Figueroa-O'Farrill, "Majorana spinors" , pp. 18: Tenemos Majoranas para$p-q = 0,6,7\mod 8$y "majoranas simplécticas" para$p-q = 2,3,4\mod 8$.

Tenga en cuenta que estos resultados entran en conflicto simplemente por el número de posibles$p-q$independientemente de si me he ocupado correctamente de las diferentes convenciones de si$p$o$q$denota dimensiones temporales.