¿Cómo derivar la forma del producto interno del espinor invariante?

Entonces tenemos matrices gamma que satisfacen las relaciones del álgebra del espacio-tiempo,$\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = 2 \eta^{\mu\nu}$. Sabemos que si establecemos$\sigma^{\mu\nu} = \frac{1}{4}[\gamma^\mu, \gamma^\nu]$entonces el$\sigma$Las matrices forman una base para una representación del álgebra de Lorentz Lie.

Ahora queremos construir un producto interno invariante de Lorentz en el espacio del espinor. Un producto interno en un espacio vectorial complejo de dimensión finita siempre toma la forma

$$\tag{1} \langle u, v \rangle = v^\dagger H u$$

dónde$H$es una matriz hermítica. ¿Cómo podemos construir$H$en general sin "adivinar"?

Claramente tal$H$debe satisfacer

$$\tag 2 S^\dagger H S = H$$

dónde$S$es una transformación de Lorentz arbitraria que actúa sobre los espinores, y tomando la derivada en la identidad se obtiene la condición equivalente

$$\tag{3} \sigma^\dagger H + H \sigma = 0$$

dónde$\sigma$es una combinación lineal arbitraria de$\sigma^{\mu\nu}$'s.

El enfoque habitual que veo es elegir una representación de las matrices gamma con$\gamma^0$hermitiano y$\gamma^i$anti-hermitiano para$i = 1, 2, 3$. Uno puede verificar fácilmente en ese caso que (3) se cumple cuando establecemos$H = \gamma^0$. Esto da el producto interno invariante de Lorentz

$$\tag{4} \langle u, v \rangle = v^\dagger \gamma^0 u$$

que también podemos escribir como

$$\tag{5} \langle u, v \rangle = \overline{v} u$$

con$\overline{v} = v^\dagger \gamma^0$. Esto es estándar pero parece requerir adivinar que debemos hacer$\gamma^0$hermitiano y$\gamma^i$anti-hermitiano. Además, siento que esta presentación es engañosa porque parece señalar una dirección privilegiada en el espacio-tiempo, a saber, la dirección del tiempo en un marco fijo de referencia.

Preguntas:

1. ¿Es el caso de que$H$siempre tiene que ser un múltiplo escalar de$\gamma^0$para que (3) se mantenga? Si es así, ¿por qué?
2. Si no, ¿cómo podemos construir una adecuada$H$dada una representación arbitraria$\gamma^\mu$del álgebra del espacio-tiempo?
3. ¿Se puede hacer esto sin depender del hecho de que$\eta$es diagonal? ¿Si es así, cómo? ¿Si no, porque no?