¿Por qué complejizar para construir la representación de Dirac?

Supongamos que tenemos una teoría covariante bajo el grupo Spin Spin (2n-1; 1). Consideramos el espacio vectorial real V = R 2 norte − 1 , 1 , que naturalmente viene con un producto interno lorentziano. En este espacio vectorial introducimos una base ortonormal mi 0 ; mi 1 ; . . . ; mi 2 norte − 1 , dónde mi 0 denota la dirección del tiempo.

Para construir la representación de Dirac de Spin (2n-1; 1) tomamos el espacio complejizado T = C < mi 1 ; . . . ; mi norte > . Mi pregunta es ¿por qué para construir la representación de Dirac complejizamos el espacio?

NOTA: La teoría es incluso dimensional y de firma lorentziana.

¿Qué quieres decir con "por qué" ? La representación de Dirac se define de esta manera (y al menos una de las matrices de representación tendrá entradas complejas, ¡así que no puede limitarse a un subespacio real)!
"por qué" es claramente una solicitud de motivaciones. Quiere entender qué se gana usando esa representación. Por qué se propuso esto en primer lugar. ¡No es difícil de entender!
Entonces no entiendo que buscas. Es una representación permitida del grupo de simetría de la teoría, y una dimensión bastante baja y, por lo tanto, natural para mirar. ¿Por qué necesitaríamos una motivación específica para observar las representaciones del grupo de simetría (después de todo, nuestros campos necesitan algo en lo que transformarse)?
Creo que tal vez solo lo necesite cuando su espacio-tiempo tenga una dimensión que sea un múltiplo de 4, pero que funcione igual de bien cuando tenga otras dimensiones.
@PhilosophicalPhysics No sé por qué insistes en una representación de cualquier tipo. Tuviste algunas transformaciones que eran una simetría en cierto sentido (parece que quieres usar cosas que son covariantes en lugar de invariantes, que es como usar coordenadas en lugar de vectores de un espacio vectorial) y quieres una representación como matrices, pero de nuevo no lo hago. No sé por qué tener matrices es mejor que tener los objetos reales.

Respuestas (1)

Suponemos que OP pregunta aparte de los hechos que:

  1. Las representaciones de Dirac por definición son complejas;

  2. Es mucho más fácil trabajar con un campo algebraicamente cerrado ;

  3. Cualquier representación real se puede extender a una representación compleja (posiblemente reducible), por lo que no se pierde nada al volverse complejo.

En otras palabras, OP está interesado en por qué ciertas representaciones reales del grupo de Lie no pueden existir. Como es bien sabido que toda representación de un grupo de Lie induce una representación del álgebra de Lie correspondiente , será suficiente para nuestro propósito mostrar que ciertas representaciones del álgebra de Lie reales no pueden existir.

Así que estamos interesados ​​en si existe un 2 [ norte 2 ] -dimensional 1 representación espinorial real de s o ( pag , q ) , dónde norte = pag + q ≥ 2 ?

Una dimensión baja donde esto falla es ( pag , q ) = ( 3 , 0 ) , es decir, rotaciones 3D, donde dejamos como ejercicio para el lector comprobar que la representación unidimensional del álgebra de Lie espinor pseudoreal/ cuaterniónica s o ( 3 ) ≅ s tu ( 2 ) ≅ tu ( 1 , H ) no tiene una subrepresentación irreducible bidimensional real .

OP solo pregunta sobre la dimensión uniforme norte con firma Minkowski. De manera similar, se puede demostrar que ( pag , q ) = ( 5 , 1 ) falla, es decir, que la suma directa de las representaciones del espinor de Weyl pseudoreal/cuaterniónico bidimensional izquierdo y bidimensional derecho del álgebra de Lie s o ( 5 , 1 ) ≅ s yo ( 2 , H ) no tiene una subrepresentación irreducible real de 8 dimensiones.

Por cierto, Witten discutió recientemente las representaciones reales, pseudoreales y complejas de fermiones en arXiv: 1508.04715 .

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1 Para entender dónde está la dimensión 2 [ norte 2 ] proviene, ver, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

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