Use la subálgebra de Cartan en la representación de spinor para encontrar los pesos de la representación vectorial

Para$SO(2n)$podemos construir los elementos del álgebra de mentira usando combinaciones antisimétricas de$\gamma_\mu$que obedecen al álgebra de Clifford.

Hasta algún prefactor los elementos$S_{\mu \nu} = \alpha [\gamma_\mu , \gamma_\nu]$puede ser utilizado como generadores. Entonces podemos identificar la subálgebra cartan con los elementos$H_i = S_{(2i-1)(2i)}$.

Ahora me gustaría usar esto para encontrar los pesos de un elemento ($A_\mu)$en la representación vectorial de$SO(2n)$. Para este propósito utilicé el$\gamma_\mu$e intenté encontrar los pesos para$A_\mu \gamma^\mu$.

El problema es que ciertos elementos del álgebra cartan simplemente conmutan con partes del$A_\mu \gamma^\mu$suma. Por ejemplo:

$H_2 (A_1 \gamma^1) = (2 \alpha \gamma_3 \gamma_4) \cdot (A_1 \gamma^1) = (2 \alpha ) \cdot (A_1 \gamma^1) \gamma_3 \gamma_4$

desde la conmutación de los 2$\gamma$da un factor de$(-1)^2$. Subir y bajar los índices no tiene consecuencias, ya que la métrica del álgebra de Clifford es euclidiana ($\delta ^{\mu \nu}$).

Pero estas partes deberían ir a cero para obtener una acción lineal de$H$en la representación vectorial.

¿Qué tiene de malo el enfoque anterior? o debería funcionar? ¿Hay alguna manera de justificar que la conmutación corresponde a un elemento cero (o peso cero si conmuta con el wohle$A_\mu \gamma^\mu$)?