¿Qué significa en la física de la materia condensada una "brecha" y por qué es tan importante?

Espectros discretos y gap en mecánica cuántica

Permítanme recordarles primero que los niveles discretos de energía juegan un papel muy importante en la mecánica cuántica, por ejemplo, explican las líneas espectrales de los átomos, el efecto fotoeléctrico, etc. Cuando tratamos con sistemas de muchas partículas, sus niveles de energía a menudo se fusionan en un banda, pero la discreción del espectro todavía se muestra en forma de brecha. Alternativamente, en algunos sistemas que no se caracterizan por un espectro discreto, como los líquidos atómicos, puede aparecer una brecha como resultado de las interacciones.

brecha de banda

@PetrPovolodov ya ha señalado el papel de la brecha en los espectros ópticos de semiconductores, que está muy cerca de la discreción de los niveles de energía en átomos individuales cuando discutimos, por ejemplo, la absorción óptica.

Los fenómenos eléctricos en los semiconductores también dependen de la brecha; por ejemplo, la concentración de electrones en la banda de conducción y los huecos en la banda de valencia depende de cuántos electrones de valencia se excitan a través de la brecha a la temperatura dada, es decir, sigue la activación. ley:

$$e^{\frac{E_g}{k_BT}}$$

Sistemas gapped y gapless

Desde el punto de vista de la teoría de los fenómenos críticos, la presencia/ausencia de la brecha caracteriza diferentes fases de un sistema. Por lo tanto, los semiconductores/aislantes se diferencian de los metales por el hecho de que en los primeros las excitaciones de energía más baja están espaciadas, mientras que en los segundos las excitaciones no tienen espaciamiento. Esto crea una gran diferencia entre estos tipos de materiales (aislantes frente a conductores). Por qué algunos sistemas son aislantes mientras que otros son conductores se conoce como transición metal-aislante (aunque esta transición es difícil de observar en un solo material). De manera similar, la aparición de un espacio a menudo caracteriza otros fenómenos, como la aparición de superconductividad.

Ejemplo
Se discutió un ejemplo en los comentarios que ilustra muy bien los diferentes significados de una brecha . Consideremos un modelo de sitios de varios niveles acoplados a través de túneles:

$$H=\sum_\alpha\left[h_\alpha\sum_jc_{j,\alpha}^\dagger c_{j,\alpha} + \lambda_\alpha\sum_j(c_{j,\alpha}^\dagger c_{j+1,\alpha}+h.c.)\right]$$ Diagonalizar este hamiltoniano nos dará algo como $$\bar{H}=\sum_{k,\alpha}\epsilon_\alpha \bar{n}_{k,\alpha},\bar{n}_{k,\alpha}=\bar{c}_{k,\alpha}^\dagger \bar{c}_{k,\alpha},\\\epsilon_{k,\alpha}=h_\alpha+2\lambda_\alpha\cos(\frac{2\pi k}{N})$$ Vemos que cada nivel se ha transformado en una banda de ancho$\lambda\alpha$, centrado en el nivel de energía original$\h_\alpha$.

Band (non-)overlap: brecha en la densidad de estados
Dependiendo de los valores de$h\alpha$y$\lambda_\alpha$las bandas pueden superponerse o no, aunque los niveles originales no fueran degenerados. Por lo tanto, si calculamos la densidad de estados, puede tener o no regiones donde sea cero, lo que afectará muchas propiedades del material, como la absorción óptica, la conductancia eléctrica, etc.

Relleno de bandas: espacio de excitación
Supongamos que las bandas no se superponen. Están llenos de electrones hasta el nivel de Fermi,$E_F$. Si el nivel de Fermi se encuentra entre dos bandas que no se superponen, en la región donde la densidad de estados es cero, la única forma de excitar electrones es transfiriéndolos de la banda llena a la banda vacía, es decir, a través del espacio. En este caso el material es aislante, mientras que si el nivel de Fermi estuviera dentro de una de las bandas, las excitaciones serían sin huecos y el material sería un metal.

Interacción de Coulomb
Agreguemos ahora a nuestra interacción de Coulomb de un sitio hamiltoniano:

$$H_C=\frac{1}{2}\sum_{\alpha,\beta\neq\alpha}\sum_j U_{\alpha\beta}n_{j,\alpha}n_{j,\beta}$$ (Para la coherencia de la discusión, descuido el espín, aunque generalmente este hamiltoniano se llama modelo de Hubbard y la interacción de Coulomb es entre los estados opuestos de espín).

Ahora, incluso si el nivel de Fermi se encuentra dentro de una banda, e incluso si las bandas se superponen, la excitación de un electrón puede requerir una energía finita; esto es particularmente obvio si la interacción de Coulomb es mayor que el ancho de la banda:

$$U_{\alpha\beta}>2\lambda_\alpha,2\lambda_\beta$$ (La realidad es algo más complicada en una dimensión, ya que tenemos que tener en cuenta los efectos líquidos de Luttinger, pero la discusión también se aplica a dimensiones más altas).

Hablando crudamente...

Cuando tienes un átomo aislado, los estados de energía permitidos son discretos, por lo que un electrón tiene que ganar o perder una cierta cantidad mínima de energía para moverse entre los niveles. Cuando junta átomos para formar un sólido, sus estados de energía permitidos cambian un poco. Donde tenía un solo estado de energía en cada átomo cuando estaban aislados entre sí, cuando junta n átomos, en lugar de tener n instancias del mismo estado de energía discreto alrededor de cada átomo, obtiene un conjunto de n estados distintos que se extienden por todos sobre el sólido que están estrechamente espaciados en energía, una co-llamada banda de estados. Es como si cada nivel de energía en el átomo aislado se extendiera para convertirse en una amplia banda de niveles de energía admisibles pero estrechamente espaciados en el sólido. El punto clave es que dado que cada banda tiene un ancho de energía, la separación de energía entre cada banda sucesiva es menor que la separación de energía correspondiente entre los estados individuales en un átomo aislado. Esto significa que donde, en el átomo aislado, un electrón necesita cierta cantidad de energía para saltar entre dos niveles de energía sucesivos, un electrón necesita menos energía para saltar entre las bandas correspondientes. De hecho, dependiendo de la naturaleza del sólido, las bandas de energía pueden ser tan amplias que la brecha entre ellas desaparece, por lo que es muy fácil que un electrón sea promovido a una banda superior.

Por lo tanto, puede imaginarse fácilmente que las propiedades electrónicas de un sólido dependen del ancho de las bandas y los espacios, y de si las bandas están completamente ocupadas o no (el principio de exclusión de Fermi evita que una banda esté ocupada por más electrones de los que hay). estados). Si una banda no está completamente ocupada, un electrón puede ascender fácilmente a uno de los niveles de energía más altos y poco espaciados de la banda. Si una banda está llena y hay una gran brecha de energía en la siguiente banda con estados desocupados, entonces se requiere más energía para promover un electrón a un estado superior.

Una brecha de energía es importante. Por ejemplo, en los semiconductores, hay una brecha de energía, lo que significa que, en principio, tiene una limitación de energía. Por ejemplo, si hay un electrón en el semiconductor, puede "aniquilarse" con un espacio libre (llamado hueco) con una creación de fotones. Entonces, la brecha en el sistema significa que la energía es más alta que la energía de la brecha.

Inversamente es cierto, si ilumina un semiconductor con una luz, puede absorber un fotón con una energía superior a la banda prohibida. Que se sabe que es el efecto de la foto.

Observaciones:

1. Obtiene una brecha entre las dispersiones de electrones y huecos al considerar un potencial de cristal semiconductor y resolver la ecuación de Schrödinger

2. Esto es cierto para un semiconductor ideal. Puede haber complicaciones para uno real.