El aumento de un potencial provoca un aumento en los niveles de energía.

Puede mostrar esto usando la teoría de la perturbación (solo para pequeños cambios adecuados en el potencial).

Cuando asumes que$\tilde{V}(x) = V(x) + c$con$c > 0$, entonces puedes escribir tu problema como perturbación: Si el hamiltoniano no perturbado$\hat{\mathrm H}$tiene estados propios$| \Psi_n \rangle$con energías discretas, entonces la teoría de la perturbación establece que cambiando el hamiltoniano por un pequeño término$\hat{\mathrm V}_\textrm{perturbation}$cambiará los valores propios$E_n$por:

Hay una cosa a tener en cuenta con respecto a la teoría de la perturbación: si los valores propios de la energía están degenerados, entonces el término de la perturbación tiene que ser diagonal en el subespacio que abarcan los estados degenerados.

En nuestro caso,$\hat{\mathrm V}_\textrm{perturbation}= c$es solo una multiplicación, entonces:

Editar: uno puede expandir la prueba para perturbaciones que varían con el tiempo: deje que el cambio en el potencial sea$\delta V(x)$(que ahora depende de$x$), entonces aún puede calcular el cambio de energía utilizando la teoría de la perturbación. En cualquier subespacio que esté formado por estados degenerados, puedes encontrar una Base$|\tilde{\Psi}_n \rangle$para cual$\delta V(x)$es un operador ortogonal.

En esta base, luego calcula el cambio de energía como se describe arriba:

1. Sea dado un autoadjunto$^1$operador$H^{(0)}$y un operador (semi)positivo $V\geq 0$en un espacio de Hilbert${\cal H}$. Sea la base de los vectores propios normalizados para$H^{(0)}$ser$(|i^{(0)}\rangle)_{i\in I}$con valores propios correspondientes$(E^{(0)}_i)_{i\in I}$ordenó tal que

   $$\forall i,j ~\in~I:\quad i~\leq~j\quad\Rightarrow \quad E^{(0)}_i~\leq~E^{(0)}_j.\tag{1}$$ De manera similar, sea la base de los vectores propios normalizados para$H^{(1)}:=H^{(0)}+V$ser$(|i^{(1)}\rangle)_{i\in I}$con valores propios ordenados correspondientes$(E^{(1)}_i)_{i\in I}$.

2. no degenerado$^2$ la teoría de la perturbación produce la siguiente construcción: Defina una familia de un parámetro de operadores autoadjuntos

   $$H(t)~:=~ H^{(0)}+tV, \qquad t~\in~[0,1].\tag{2}$$ Considere el siguiente problema de valor inicial de ecuaciones diferenciales acopladas de primer orden$^2$ $$\frac{d|i(t)\rangle}{dt}~~=~~\sum_{j\in I\backslash \{i\}} \frac{\langle j(t)| V | i(t) \rangle}{ E_i(t)-E_j(t)}|j(t)\rangle ~~=~~ \sum_{j\in I}A_{ij}(t)|j(t)\rangle , \tag{3}$$ $$A_{ij}(t)~~:=~~\left\{\begin{array}{ccl} \frac{\langle j(t)| V | i(t) \rangle}{ E_i(t)-E_j(t)} &\text{if}& i~\neq~ j \cr 0 &\text{if}& i~=~ j \end{array} \right\}~~=~~-A^{\ast}_{ji}(t), \tag{4}$$ $$\frac{dE_i(t)}{dt}~~=~~\langle i(t)| V | i(t) \rangle~~\geq~~0, \tag{5}$$ $$|i(t\!=\!0)\rangle~~=~~|i^{(0)}\rangle,\qquad E_i(t\!=\!0)~~=~~E^{(0)}_i,\qquad i\in I. \tag{6}$$ Concluimos de la ec. (5) que el espectro de$H(t\!=\!1)\equiv H^{(1)}$aumenta en comparación con el espectro de$H(t\!=\!0)\equiv H^{(0)}$, es decir $$\forall i~\in~I:\quad E^{(0)}_i ~\leq~ E^{(1)}_i,\tag{7}$$ como OP quería saber. Tenga en cuenta que la propiedad anti-hermítica (4) implica que la base$(|i(t)\rangle)_{i\in I}$está normalizado.

3. En caso de degeneraciones y pasos a nivel, la base$(|i(t)\rangle)_{i\in I}$ya no es una función bien definida/continua de$t$. Sin embargo, se puede argumentar que los valores propios ordenados$E_i(t)$siguen siendo no decrecientes en función de$t$, es decir, débilmente creciente.

4. Alternativamente, el aumento en la energía del estado fundamental se puede deducir de forma independiente y no perturbativa a partir del método variacional :

   $$E_0^{(0)} ~~\leq~~ \langle 0^{(1)}| H^{(0)} | 0^{(1)} \rangle ~~=~~ \langle 0^{(1)}| \left(H^{(1)}\!-\! V \right)| 0^{(1)} \rangle~~\leq~~ E^{(1)}_0. \tag{8}$$

5. Una generalización del método variacional anterior (8), basado en el teorema de Schur-Horn , conduce a la siguiente torre de desigualdades más débiles:

   $$\forall j ~\in~I:\quad \sum_{i=0}^j E^{(0)}_i ~\leq~\sum_{i=0}^j E^{(1)}_i.\tag{9}$$ (Para probar la inecuación (9) trabaje en una base donde$H^{(1)}$es diagonal, y luego aplique la desigualdad de Schur-Horn.)

$^1$Ignoraremos las sutilezas con operadores ilimitados , dominios, extensiones autoadjuntas , etc., en esta respuesta.

$^2$Suponemos en la Sección 2 que el espectro para$H^{(0)}$es no degenerado y que no se producen pasos a nivel .

Considerar$\tilde{V}(x)=V(x)+\Delta(x)$dónde$\Delta(x)>0,\forall x$. Dentro de la perturbación de primer orden,$E_n=E_n^0+\langle \psi_n|\Delta|\psi_n\rangle=E_n^0+\iint dx_1dx_2\psi_n^*(x_1)\delta(x_1-x_2)\Delta(x_2)\psi_n(x_2)=E_n^0+\int dx|\psi_n(x)|^2\Delta(x)>E_n^0$

Genéricamente, la respuesta es "no". El efecto Zeeman es la división de líneas espectrales degeneradas en presencia de un campo magnético estático. A medida que aumenta la intensidad del campo, algunas líneas se mueven a energías más altas y algunas líneas se mueven a energías más bajas. Ejemplo de la división de la$5s$orbitales de rubidio:

(Gráfico creado por: Danski14 . Imagen utilizada bajo licencia Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported )

Tenga en cuenta que los niveles ni siquiera se mueven de forma monótona: los niveles (2,-1) y (1,-1) se mueven hacia el cambio de frecuencia cero para campos pequeños y luego se alejan para campos grandes.

De manera similar, el efecto Stark (cambio y división de líneas espectrales por un campo eléctrico impuesto) puede cambiar a energías más altas o más bajas. (Se pueden ver cambios estructuralmente similares en la página vinculada a los que se muestran arriba para el efecto Zeeman).

EDITAR:

Al menos un comentarista parece confundido acerca de lo que significan estas palabras. La división de Zeeman ocurre bajo un campo uniforme. Un campo uniforme no tiene potencial, por lo que no contribuye a$\tilde{V}(x)$. En detalle, usando el potencial del OP,

Un campo magnético es un campo vectorial, por lo que no depende del espín. Es decir, el campo magnético uniforme no se escribe en función de la posición y el espín; es sólo una función de la posición. El hamiltoniano contiene todos los términos de interacción. Si existe acoplamiento entre los electrones y el campo magnético, este acoplamiento aparece en el hamiltoniano. Y en un hamiltoniano que tiene tal término, el espín de un electrón contribuye al signo del efecto de la interacción electrón-magnético. El OP no da detalles sobre su hamiltoniano. Si un comentarista tiene preguntas sobre la dependencia del espín en el hamiltoniano del OP, la única opción rentable es consultar con el OP.

Quizás no sea familiar imaginar un campo eléctrico uniforme (en lugar de un campo eléctrico de gradiente uniforme). Tal campo se produce aproximadamente en semiconductores dopados. Lejos de una unión pn, el efecto Stark deforma la estructura orbital/banda de los materiales, de manera diferente según el dopante. Dado que estamos lejos de la unión, el campo eléctrico neto es inducido por el dopante (y la física de agotamiento) y es tan uniforme como lo permite su modelo. Cerca de la unión, el valor del campo local es intermedio y la deformación de Stark de los niveles/bandas de energía es intermedia (y un poco no lineal ya que ahora el gradiente del campo eléctrico no es necesariamente pequeño).

Entonces, sin cambiar el valor numérico de$V(x)$en absoluto, las energías vinculantes pueden cambiarse positiva o negativamente. Esto se observa en los átomos reales.