¿Es posible saber si un potencial no está acotado usando solo la teoría de la perturbación?

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¿Es posible saber si un potencial no está acotado usando solo la teoría de la perturbación?

Física
potencial
mecánica cuántica
teoría de la perturbación
teoría cuántica de campos

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Un problema inverso muy común en la física matemática es tratar de comprender el potencial de un sistema mecánico cuántico dados sus datos de dispersión. Tales problemas, aunque muy interesantes, son muy desafiantes y por lo general mal planteados. Estoy tratando de entender un problema inverso que supongo que es particularmente simple.

Algunos modelos mecánicos cuánticos están mal definidos porque su potencial es ilimitado desde abajo (por ejemplo, $\phi^3$ ). Aún así, la teoría de la perturbación suele estar bien definida, al menos en el sentido de una serie de potencias formales. En lo que respecta a los diagramas de Feynman, las teorías $\phi^3$ y $\phi^4$ no son fundamentalmente diferentes, aunque sólo el segundo representa una aproximación a una teoría significativa no perturbativa. Lo mismo puede decirse de los modelos mecánicos cuánticos estándar, como un oscilador anarmónico con términos cúbicos y cuárticos.

Supongamos que se nos da un número arbitrariamente grande pero finito de términos en la expansión perturbativa de, digamos, la función de partición de cierto sistema desconocido. (Recuerde que el logaritmo de la función de partición representa la energía del estado fundamental, por lo que en principio es observable). Pregunta: ¿Podemos predecir si el potencial subyacente de tal serie está acotado desde abajo?

En otras palabras, un solo término en la serie perturbativa es cualitativamente idéntico en el caso acotado y no acotado. Pero, ¿y si nos alejamos y observamos muchos términos? ¿La serie (truncada) contiene alguna información que nos permita distinguirlos? ¿O es la serie realmente ajena al comportamiento del potencial lejos de la posición de equilibrio?

Me parece claro que a partir de una serie truncada podemos, en el mejor de los casos, predecir la probabilidad de que el potencial sea acotado. Cuantos más términos, mejor será la predicción (en el sentido de un intervalo de confianza). Siempre que el número sea finito, nunca podemos estar seguros de que el potencial esté acotado o no. Pero, ¿existe tal estimador probabilístico? ¿O es realmente imposible incluso predecir una probabilidad?

jerbo sammy

Esta parece ser una pregunta matemática sobre qué tan bien una serie truncada puede representar una función que requiere una serie infinita de términos.

AccidentalFourierTransformar

@sammygerbil No, no estoy interesado en qué tan bien la serie representa un observable. Me interesa la información contenida en la serie, independientemente de cualquier noción de convergencia. La serie no tiene valor numérico; es la secuencia de sus coeficientes lo que importa. En otras palabras, una serie formal de potencias en su sentido matemático riguroso (no la vaga noción de serie formal que solemos usar los físicos). Pero sí: mi pregunta es principalmente matemática (aunque eso no la hace fuera de tema: se trata de física matemática, que es ontópica)

Abdelmalek Abdesselam

Su pregunta parece difícil en general, pero uno puede hacer una observación trivial. Llevar

ϕ^{4}

$\phi^4$ con el signo incorrecto para el acoplamiento, lo que hace que el potencial sea ilimitado por debajo. Esto será visible en la serie de perturbaciones: todos los términos tendrán el mismo signo.

Respuestas (1)

¿Es posible saber si un potencial no está acotado usando solo la teoría de la perturbación?

Esta parece ser una pregunta matemática sobre qué tan bien una serie truncada puede representar una función que requiere una serie infinita de términos.
@sammygerbil No, no estoy interesado en qué tan bien la serie representa un observable. Me interesa la información contenida en la serie, independientemente de cualquier noción de convergencia. La serie no tiene valor numérico; es la secuencia de sus coeficientes lo que importa. En otras palabras, una serie formal de potencias en su sentido matemático riguroso (no la vaga noción de serie formal que solemos usar los físicos). Pero sí: mi pregunta es principalmente matemática (aunque eso no la hace fuera de tema: se trata de física matemática, que es ontópica)
Su pregunta parece difícil en general, pero uno puede hacer una observación trivial. Llevar $\phi^4$ con el signo incorrecto para el acoplamiento, lo que hace que el potencial sea ilimitado por debajo. Esto será visible en la serie de perturbaciones: todos los términos tendrán el mismo signo.

knzhou · Answer 1

Espero no estar leyendo mal; Creo que la respuesta es ciertamente no. Digamos que tenemos un potencial $V(\phi)$ .

La teoría de la perturbación nunca puede ver cosas no analíticas como $e^{-1/x^2}$ . Así que si el potencial tiene una pieza como $\phi\, e^{-1/\phi^2}$ no está acotado y nunca se puede saber de ninguna serie de perturbaciones. Un ejemplo aún más simple sería, digamos, $\delta(\phi - \phi_0)$ para cualquier distinto de cero $\phi_0$ .
Incluso suponiendo que el potencial sea analítico, cualquier truncamiento finito no puede decir nada. Dejar $V (ϕ) = \sum_{norte = 0}^{\infty} C_{norte} {gramo}^{norte} ϕ^{norte}$ $V(\phi) = \sum_{n=0}^\infty c_n g^n \phi^n$ dónde $g$ es nuestro parámetro de expansión. Si ampliamos cualquier cantidad hasta el pedido $g^m$ solo conocemos los coeficientes hasta $c_m$ . Pero no importa si o no $V_{metro} (ϕ) = \sum_{norte = 0}^{metro} C_{norte} {gramo}^{norte} ϕ^{norte}$ $V_m(\phi) = \sum_{n=0}^{m} c_n g^n \phi^n$ está delimitado desde abajo porque está completamente abrumado incluso por solo $c_{m+1}$ solo. Para cualquier distribución de probabilidad en el $c_n$ lo que sea, siempre y cuando todos los $c_n$ puede ser tanto positivo como negativo y el $c_n$ son independientes, conocer cualquier truncamiento finito da exactamente cero información.
Alternativamente, podríamos usar un previo mucho más especial en el $c_n$ . Por ejemplo, si de alguna manera supiéramos la forma resumida completa de $V(\phi)$ fue, digamos, $V (ϕ) = (polinomio de orden finito con O (1) coeficientes) \times (exponencial)$ $V(\phi) = (\text{finite order polynomial with } O(1) \text{ coefficients}) \times (\text{exponential})$ entonces de hecho recogeríamos un poco de información en cada orden de la teoría de la perturbación sobre si el exponencial estaba creciendo o decreciendo. Sin embargo, creo que no tiene sentido asignar un anterior fuera de cualquier contexto físico, para darnos una pista de lo que es la finalización UV. Si especifica el contexto, su pregunta básicamente se reduce a 'toda la física de partículas' (es decir, aún imposible) ya que encontrar completaciones UV a partir de datos físicos es de lo que se trata el campo.

Si bien estoy de acuerdo en que la teoría de la perturbación de orden finito nunca puede especificar de manera única el potencial, la afirmación de que "la teoría de la perturbación nunca puede ver cosas no analíticas" parece quizás demasiado fuerte. De hecho, ha habido una investigación activa recientemente sobre el "resurgimiento" en QFT, y (en los casos que son manejables de calcular) hay cancelaciones no triviales entre las divergencias en la serie de perturbaciones resumida y los instantes que se requieren para que la teoría esté semiclásicamente bien definida. . Puede hacer lo mismo en QM simple, pero hasta donde yo sé, básicamente solo redescubre la suma de Borel.
¿Podrías ayudarme a ver mejor tu primer punto? Siento que un término como $g\phi e^{-1/\phi^2}$ seguirá contribuyendo a la teoría de la perturbación tanto como un $g\phi^3$ término sería. Podría agregar un término $g x e^{-1/x^2}$ término al oscilador armónico simple y obtener una serie de perturbaciones en $g$ . Más, $g\phi e^{-1/\phi^2}$ todavía daría un potencial acotado por debajo, asumiendo un $\phi^2$ término existe con el signo correcto.

¿Es posible saber si un potencial no está acotado usando solo la teoría de la perturbación?

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jerbo sammy

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Abdelmalek Abdesselam

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knzhou

logan m

usuario196574

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