Propagadores y probabilidades en la imagen de Heisenberg

Esta es una confusión entre la propagación del espacio-tiempo y la propagación del espacio. Su argumento formal se aclara introduciendo tiempo explícito en los campos:

$$|x\rangle = \phi(x,0)|0\rangle$$

Esta parte es una definición --- usted define el estado de la izquierda como el estado de la derecha. No es del todo correcto interpretar esto como un estado localizado, como explicaré más adelante, pero primero para aclarar la confusión formal.

Entonces desea preguntar cuál es la probabilidad de que una partícula en x en el tiempo 0 se propague a y en el tiempo t. Aplicas el operador de evolución temporal:

$$U(t) |x\rangle = e^{-iHt} \phi(x,0)|0\rangle$$

Luego preguntas cuál es la superposición de esto con el estado$|y\rangle$:

$$\langle y | U(t) |x\rangle = \langle 0 | \phi(y,0) e^{-iHt} \phi(x,0)|0\rangle$$

Pero recuerda que el operador de campo dependiente de la t de Heisenberg es:

$$\phi(y,t) = e^{iHt} \phi(y,0) e^{-iHt}$$

De modo que lo anterior es igual a:

$$\langle y | U(t) |x \rangle = \langle 0 | e^{-iHt} \phi(y,t) \phi(x,0)|0\rangle$$

Y ahora usa el hecho de que el vacío es un estado propio con energía cero, y concluyes que el propagador es igual a la función de correlación. Esta es la derivación formal.

El problema con esto es solo que el estado que definí como el estado localizado

$$|x\rangle = \phi(x) |0\rangle = \int {d^dk\over (2\pi)^d (2\omega_k)} \sqrt{(2\pi)^d 2\omega_k} ||k\rangle$$

dónde$||k\rangle$es el estado k normalizado (la razón por la que lo escribí de esta manera es que ambas partes, la medida y el estado k, son covariantes relativistas de esta manera --- esto es normalización relativista), no puede interpretarse como una partícula localizada tridimensional. Este estado no tiene superposición cero con espacios separados$\langle y|$.

$$\langle y | x \rangle \ne 0$$

para x diferente de y. El propagador no desaparece en separaciones similares al espacio. Esto significa que los estados$|x\rangle$no son los valores propios de un operador de posición.

Históricamente, esto confundió a la gente sin fin, hasta que Feynman y Schwinger lo explicaron. La imagen de la partícula no está solo en el espacio, está en el espacio-tiempo, y luego puedes considerar el estado$|x\rangle$como una partícula localizada en el espacio-tiempo que se propaga en el espacio-tiempo, hacia atrás y hacia adelante. Solo en el límite no relativista es toda la propagación hacia adelante en el tiempo, y en este caso, tiene un operador x normal y pasa todo el material cuántico habitual. En el caso relativista, la función de correlación libre es la amplitud para ir de x a y en zig-zag en el tiempo, lo que se explica por la representación de Swinger.

$$\langle y | x\rangle = \int {1\over (2\pi\tau)^{d\over 2}} e^{-(x-y)^2\over 2\tau}\tau$$

Que se sostiene en el tiempo imaginario. La representación de Schwinger es el formalismo de trayectoria de partículas para campos cuánticos relativistas, y es equivalente a la imagen del propagador de Feynman para interacciones de partículas, y es equivalente a la teoría cuántica de campos en el marco hamiltoniano o lagrangiano.

El estado$\phi(x)|0\rangle$, dónde$x=x^\mu$, ya está evolucionando en el tiempo (o depende del tiempo). Aplicando el operador de evolución$e^{\pm i H t }$simplemente desplaza el estado en el tiempo. Por lo tanto, no es necesario realizar este paso.

Todos los demás pasos parecen ser correctos.

La densidad lagrangiana para el campo de Klein-Gordon es:

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu \phi)^2 - \frac{1}{2}m^2\phi^2 = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2-\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2$$

y el hamiltoniano viene dado por:

$$H = \int d^3x [\pi(\textbf{x})\dot{\phi}(\textbf{x})-\mathcal{L}]$$

dónde

$$\pi(\textbf{x}) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}(\textbf{x})}$$

hay una dependencia temporal implícita en su hamiltoniano. Por lo tanto, la evolución temporal no es tan simple como aplicar$e^{iHT}$. Te encontrarás con cosas complicadas como la serie Dyson.

Como qué$\langle0|\phi(x)\phi(y)|0\rangle$es el propagador, el argumento es muy simple: pensar en los operadores de campo es operadores de creación y aniquilación (ya que no son más que combinaciones lineales de ellos). La idea detrás de llamar a esta cantidad como el propagador es que estabas destruyendo un estado en$y$y creando uno en$x$. Por lo tanto, la partícula se propagó desde$y$a$x$. Pero tengo el presentimiento de que ya lo sabías y simplemente querías reconciliarlo con la mecánica cuántica; Lo mencioné por si no lo sabías.