Confusión sobre la teoría de la perturbación dependiente del tiempo

Question

Confusión sobre la teoría de la perturbación dependiente del tiempo

Física
potencial
hamiltoniano
aproximaciones
mecánica cuántica
teoría de la perturbación

cris

Digamos por simplicidad que estamos en un sistema de dos estados con un hamiltoniano:

H = H_{0} + V (t)

$H=H_0+V(t)$

Dónde $H_0$ es:

(\begin{matrix} ϵ_{0} & 0 \\ 0 & ϵ_{1} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} \epsilon_0&0\\ 0&\epsilon_1 \end{pmatrix}$ Mientras

V (t)

$V(t)$ es:

(\begin{matrix} 0 & V_{01} (t) \\ V_{10} (t) & 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0&V_{01}(t)\\ V_{10}(t)&0 \end{pmatrix}$ Entonces podemos escribir kets estatales como:

| ψ ⟩ = C_{0} (t) | 0 ⟩ + C_{1} (t) | 1 ⟩

$|\psi\rangle=c_0(t)|0\rangle+c_1(t)|1\rangle$ Y luego Sakurai nos dice que estos coeficientes se pueden encontrar en primer orden para ser:

C_{norte} (t) = ⟨ norte | {tu}_{I} (t, t_{0}) | i ⟩

$c_n(t)=\langle n|U_I(t,t_0)|i\rangle$

C_{norte}^{(1)} (t) = d_{norte i} - \frac{i}{ℏ} \int_{t_{0}}^{t} {mi}^{i ω_{norte i} t} V_{norte i} (t) d t

$c_n^{(1)}(t)=\delta_{ni}-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^te^{i\omega_{ni}t}V_{ni}(t)d{t}$ Dónde:

ω_{norte i} = \frac{{mi}_{norte} - {mi}_{i}}{ℏ}

$\omega_{ni}=\frac{E_n-E_i}{\hbar}$ Y luego la probabilidad de que se formen transiciones

| 0 ⟩

$|0\rangle$ a

| 1 ⟩

$|1\rangle$ es dado por:

PAG (i \to norte) \approx | C_{norte}^{(1)} |^{2}

$P(i\rightarrow n)\approx|c_n^{(1)}|^2$ Sin embargo, ¿qué pasa si quiero calcular la probabilidad de que permanezca en el estado

| 0 ⟩

$|0\rangle$ ? Eso se reduciría a:

C_{0} (t) = ⟨ 0 | {tu}_{I} | 0 ⟩

$c_0(t)=\langle 0|U_I|0\rangle$

C_{0} (t) = 1 - \frac{i}{ℏ} \int_{t_{0}}^{t} {mi}^{i ω_{10} t} V_{00} (t)

$c_0(t)=1-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^te^{i\omega_{10}t}V_{00}(t)$

= 1

$= 1$

\Rightarrow PAG (0 \to 0) = 1

$\Rightarrow P(0\rightarrow 0)= 1$ Lo que parece una contradicción como siento que debería ser

1 - | c_{1} |^{2}

$1-|c_1|^2$ , ¿Entonces, Que esta pasando aquí? ¿Por qué obtenemos qué transición de probabilidad y luego una probabilidad completamente diferente para ninguna transición?

Respuestas (1)

Confusión sobre la teoría de la perturbación dependiente del tiempo

Samuel · Answer 1

Como usted indicó, es sólo una aproximación que $P(i\rightarrow n) \approx |c_n^{(1)}|^2$ . Solo vale si $|\sum_j \lambda^j c_n^{(j)}|^2 = |c_n|^2 \ll 1$ . ya que tienes $|c_n^{(1)}|^2 = 1$ , debe incluir términos de orden superior para que la aproximación sea válida (también podría no ser válida en absoluto; depende de la perturbación).

Una nota rápida: revisé mis notas de clase porque nunca vi el $\delta_{ni}$ -término en la expresión para $c_n^{(1)}$ , y tampoco tenía eso allí. También estoy un poco confundido sobre lo que $U_I(t)$ es aquí. ¿Está confundiendo la imagen de interacción con la imagen de Schrödinger?

La expresión correcta para para el $c_n$ 's se pueden derivar de sus ecuaciones diferenciales: $\frac{d}{dt}c_n^{(j)} = \frac{1}{i\hbar}\sum_m V_{nm}(t)\ c_m^{(j-1)} e^{i\omega_{nm}t}$ Entonces, para un estado inicial dado $|i\rangle$ : $c_n^{(0)} = \delta_{ni}$ , y por lo tanto $c_f^{(1)}(t) = \frac{1}{i\hbar} \int_{t_0}^t V_{fi} e^{i\omega_{fi}t'}dt'$

Estoy trabajando únicamente en la interacción en este momento, las ecuaciones que tengo son de la página 340 de sakurai en la sección sobre la teoría de la perturbación dependiente del tiempo.

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cris

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Samuel

cris

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