Formulación de un Principio de Acción en un Espacio de Fases general (No Cotangent-Bundle)

Question

Formulación de un Principio de Acción en un Espacio de Fases general (No Cotangent-Bundle)

acción
Física
espacio de fase
geometría diferencial
formalismo hamiltoniano
principio variacional

látigo cuántico

Si venimos del lado de la física, el formalismo hamiltoniano generalmente se introduce a través de coordenadas generalizadas (que son solo una colección de números metidos en un vector ( $\vec{q}$ ), y el formalismo lagrangiano. La transformada de Legendre del lagrangiano produce el hamiltoniano, y así sucesivamente.

En esta formulación, las ecuaciones canónicas de movimiento

\begin{aligned} \dot{\vec{q}} = \frac{\partial H}{\partial pag} \\ \dot{\vec{pag}} = - \frac{\partial H}{\partial q} \end{aligned}

$\begin{align} \dot{\vec{q}} = \frac{\partial H}{\partial p} \\ \dot{\vec{p}} = -\frac{\partial H}{\partial q} \end{align}$ se derivan de un principio de acción. La acción

\begin{aligned} \int d t (\dot{\vec{q}} \cdot \vec{pag} - H (\vec{q}, \vec{pag}, t)) \end{aligned}

$\begin{align} \int dt~\left( \dot{\vec{q}} \cdot\vec{p} - H(\vec{q}, \vec{p}, t)\right) \end{align}$ es estacionario con respecto a las variaciones con

\vec{q} (t_{2})

$\vec{q}(t_2)$ y

\vec{q} (t_{1})

$\vec{q}(t_1)$ fijado. Ahora he leído más formulaciones matemáticas que emplean el concepto de variedades. En algunos, el espacio de fase se introduce como espacio constante sobre el espacio de configuración, lo que significa que

\vec{q}

$\vec{q}$ ahora es un conjunto de coordenadas para un punto en el espacio de configuración Q (que es una variedad),

\dot{\vec{q}}

$\dot{\vec{q}}$ es un elemento del espacio tangencial

T_{\vec{q}} Q

$T_{\vec{q}}Q$ , y

\vec{p}

$\vec{p}$ es un elemento del espacio dual a ese espacio tangente. Hasta aquí no hay problema en anotar la acción antes mencionada de la misma manera.

\dot{\vec{q}} \vec{p}

$\dot{\vec{q}}\vec{p}$ ahora ya no es un producto escalar, sino que es la aplicación de

\vec{p}

$\vec{p}$ a

\dot{\vec{q}}

$\dot{\vec{q}}$ , que se asigna a un número real (y que tiene mucho sentido).

Mi pregunta ahora es: ¿Podemos seguir con la formulación de la acción para los casos en los que el espacio de fases (posiblemente) ya no sea un espacio cotangente? Por ejemplo, si es solo un espacio de dimensión uniforme, equipado con una forma simpléctica, ¿podemos de alguna manera escribir una acción que tenga sentido desde un punto de vista matemático?

¿O mi pregunta no es necesaria, porque cada noción de espacio de fase que aparece en la física hace uso del espacio de fase como un espacio cotangente?

Respuestas (2)

Formulación de un Principio de Acción en un Espacio de Fases general (No Cotangent-Bundle)

qmecanico · Answer 1

Que se dé un $2n$ variedad simpléctica -dimensional $(M,\omega)$ ,
$\begin{matrix} (1) & d ω = 0 \end{matrix}$ $\mathrm{d}\omega~=~0 \tag{1}$ con función hamiltoniana definida globalmente $H: M \to \mathbb{R}$ . (Para simplificar, supongamos una mecánica de puntos sin una dependencia temporal explícita. La construcción se puede generalizar a la teoría de campos).
Localmente en una vecindad coordinada abierta contráctil $U\subseteq M$ existe un potencial simpléctico de 1 forma
$\begin{matrix} (2) & ϑ = \sum_{I = 1}^{2 norte} ϑ_{I} d z^{I} \in Γ (T^{*} METRO |_{tu}), \end{matrix}$ $\vartheta ~=~\sum_{I=1}^{2n}\vartheta_I~\mathrm{d}z^I ~\in~ \Gamma(T^{\ast}M|_U),\tag{2}$ tal que $\begin{matrix} (3) & ω |_{tu} = d ϑ . \end{matrix}$ $\omega|_U ~=~\mathrm{d}\vartheta .\tag{3}$
dado un camino $\gamma \subset U$ . Definir la acción hamiltoniana local
$\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} S_{tu} [γ] := & \int_{γ} (ϑ - H d t) \\ = & \int_{t_{i}}^{t_{F}} d t (\sum_{I = 1}^{2 norte} ϑ_{I} {\dot{z}}^{I} - H) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} S_U[\gamma]~:=~&\int_{\gamma} \left( \vartheta - H ~\mathrm{d}t\right)\cr ~=~&\int_{t_i}^{t_f}\! \mathrm{d}t\left( \sum_{I=1}^{2n}\vartheta_I~\dot{z}^I -H\right). \end{align}\tag{4}$ Se puede demostrar que las correspondientes ecuaciones de Euler-Lagrange (EL) son precisamente las ecuaciones de Hamilton. $\begin{matrix} (5) & {\dot{z}}^{I} = {z^{I}, H} . \end{matrix}$ $\dot{z}^I~=~\{z^I,H\} .\tag{5}$ Aquí, el bivector de Poisson definido globalmente es el inverso de la forma 2 simpléctica.
Es posible globalizar la acción local (4) en una llamada acción Wu-Yang a través de una construcción teórica de gavilla sobre $M$ . Esto se explica, por ejemplo, en la Ref. 1.

Referencias:

ES Fradkin y V. Ya. Linetsky, enfoque BFV para la cuantificación geométrica, Nucl. física B431 (1994) 569 ; Sección 3.3.

ryan thorngren · Answer 2

Escribámoslo de otra manera:

L = θ - H,

$L = \theta - H,$

dónde $\theta(p,q)$ es una forma 1 tal que $d\theta = \omega$ , la forma simpléctica. Esto se llama la forma de Liouville. Para una partícula en la línea es $\theta = pdq$ , $d\theta = dp dq$ . En una variedad compacta, no podemos tomar $\theta$ definirse globalmente, pero todavía es posible hacer que la acción

S = \int L = \int θ - \int H

$S = \int L = \int \theta - \int H$

bien definido si $\theta$ es una conexión de 1 forma. Ahora uno tiene que elegir un calibre, lo que significa esencialmente una cobertura de su variedad simpléctica por espacios cotangentes, y realizar un seguimiento para que todo sea invariante de calibre. De hecho, $L$ no será invariante de calibre pero su holonomía $S$ será, por lo que todavía se pueden formular ecuaciones de Euler-Lagrange, etc.

Por cierto, en mecánica cuántica, $\theta$ se requiere que sea una conexión en un $U(1)$ paquete, lo que conduce a la cuantificación de las integrales de $\omega$ sobre superficies cerradas.

Debería consultar este libro de V. Arnold llamado Métodos matemáticos de la mecánica clásica (y, de hecho, el resto de sus libros también :).

Formulación de un Principio de Acción en un Espacio de Fases general (No Cotangent-Bundle)

látigo cuántico

Respuestas (2)

qmecanico

ryan thorngren

Espacio de fase cuántica

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