Fórmula/teorema de suma fasorial/armónica: ¿Por qué podemos sacar la frecuencia de un argumento complejo?

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Fórmula/teorema de suma fasorial/armónica: ¿Por qué podemos sacar la frecuencia de un argumento complejo?

ángulo
Matemáticas
trigonometría
análisis real
números complejos
análisis complejo

Desconocido123

Teorema de la suma armónica
Fórmula de suma armónica
Teorema de la suma de fasores
Fórmula de suma de fasores

Esos cuatro nombres se pueden utilizar como palabra clave en Google.
No he conocido el nombre oficial y creo que parecen ser equivalentes entre sí.

De este documento en la página 3

Un análogo hiperbólico de la fórmula de adición de fasores por F. Adrián F. Tojo (30 de julio de 2018)

Figura 1. Parte de la página 3 del artículo mencionado.

Si reescribo eso,

a {mi}^{j α} + b {mi}^{j β} = \sqrt{a^{2} + b^{2} + 2 a b porque (α - β)} {mi}^{j argumento [[a porque (α) + b porque (β)] + j [a pecado (α) + b pecado (β)]]}

$\displaystyle \mathrm{a} \ \mathrm{e}^{j \alpha} + \mathrm{b} \ \mathrm{e}^{j \beta} = \sqrt{ \mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2 + 2 \ \mathrm{a} \ \mathrm{b} \ \cos\left( \alpha - \beta \right) } \quad \mathrm{e}^{\ j \ \arg\left[ \left[ \mathrm{a} \cos\left( \alpha \right) + \mathrm{b} \cos\left( \beta \right) \right] + j \left[ \mathrm{a} \sin\left( \alpha \right) + \mathrm{b} \sin\left( \beta \right) \right] \right]}$

Entonces, si tomamos la parte real, obtenemos

a porque (α) + b porque (β) = \sqrt{a^{2} + b^{2} + 2 a b porque (α - β)} porque [a r gramo [[a porque (α) + b porque (β)] + j [a pecado (α) + b pecado (β)]]]

$\small \displaystyle \mathrm{a}\cos\left( \alpha \right) + \mathrm{b} \cos\left( \beta \right) = \sqrt{ \mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2 + 2 \ \mathrm{a} \ \mathrm{b} \ \cos\left( \alpha - \beta \right) } \: \cos\left[ \mathrm{arg}\left[ \left[ \mathrm{a} \cos\left( \alpha \right) + \mathrm{b} \cos\left( \beta \right) \right] + j \left[ \mathrm{a} \sin\left( \alpha \right) + \mathrm{b} \sin\left( \beta \right) \right] \right] \right]$

Supongamos que si $\alpha = \omega t + \phi_1$ y $\beta = \omega t + \phi_2$ , entonces

\begin{aligned} a porque (ω t + ϕ_{1}) + b porque (ω t + ϕ_{2}) & = \sqrt{a^{2} + b^{2} + 2 a b porque (ϕ_{1} - ϕ_{2})} \\ \cdot porque [a r gramo [[a porque (ω t + ϕ_{1}) + b porque (ω t + ϕ_{2})] + j [a pecado (ω t + ϕ_{1}) + b pecado (ω t + ϕ_{2})]]] \end{aligned}

$\begin{align} \small \displaystyle \mathrm{a}\cos\left( \omega t + \phi_1 \right) + \mathrm{b} \cos\left( \omega t + \phi_2 \right) &= \sqrt{ \small \mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2 + 2 \ \mathrm{a} \ \mathrm{b} \ \cos\left(\phi_1 - \phi_2 \right) } \\ &\cdot\cos\left[ \small \mathrm{arg}\left[ \left[ \mathrm{a} \cos\left( \omega t + \phi_1 \right) + \mathrm{b} \cos\left( \omega t + \phi_2 \right) \right] + j \left[ \mathrm{a} \sin\left( \omega t + \phi_1 \right) + \mathrm{b} \sin\left( \omega t + \phi_2 \right) \right] \right] \right] \end{align}$

¿Por qué podemos sacar la frecuencia de un argumento complejo como este?

\begin{aligned} a porque (ω t + ϕ_{1}) + b porque (ω t + ϕ_{2}) & = \sqrt{a^{2} + b^{2} + 2 a b porque (ϕ_{1} - ϕ_{2})} \\ \cdot porque [ω t + a r gramo [[a porque (ϕ_{1}) + b porque (ϕ_{2})] + j [a pecado (ϕ_{1}) + b pecado (ϕ_{2})]]] \end{aligned}

$\begin{align} \small \displaystyle \mathrm{a}\cos\left( \omega t + \phi_1 \right) + \mathrm{b} \cos\left( \omega t + \phi_2 \right) &= \sqrt{ \small \mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2 + 2 \ \mathrm{a} \ \mathrm{b} \ \cos\left(\phi_1 - \phi_2 \right) } \\ &\cdot\cos\left[ \small \omega t + \mathrm{arg}\left[ \left[ \mathrm{a} \cos\left( \phi_1 \right) + \mathrm{b} \cos\left( \phi_2 \right) \right] + j \left[ \mathrm{a} \sin\left( \phi_1 \right) + \mathrm{b} \sin\left( \phi_2 \right) \right] \right] \right] \end{align}$

Respuestas (1)

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Desconocido123 · Answer 1

$\displaystyle \mathrm{a} \, \mathrm{e}^{j \alpha} + \mathrm{b} \, \mathrm{e}^{j \beta} = \left[ \mathrm{a} \cos\left( \alpha \right) + \mathrm{b} \cos\left( \beta \right) \right] + j \left[ \mathrm{a} \sin\left( \alpha \right) + \mathrm{b} \sin\left( \beta \right) \right] \label{1}\tag{1}$

Recuerda que la forma del argumento complejo dentro del coseno es equivalente a $\eqref{1}$ .
O simplemente usa la fórmula de Euler, es lo mismo.

$\small \displaystyle \mathrm{a} \, \cos\left( \omega t + \phi_1 \right) + \mathrm{b} \, \cos\left( \omega t + \phi_2 \right) = \sqrt{ \small \mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2 + 2 \ \mathrm{a} \ \mathrm{b} \ \cos\left(\phi_1 - \phi_2 \right) } \cdot\cos\left[ \small \mathrm{arg}\!\left[ \mathrm{a} \, \mathrm{e}^{j \left( \omega t + \phi_1 \right)} + \mathrm{b} \, \mathrm{e}^{j \left( \omega t + \phi_2 \right)} \right] \right]$

Factoriza la frecuencia

$\small \displaystyle \mathrm{a} \, \cos\left( \omega t + \phi_1 \right) + \mathrm{b} \, \cos\left( \omega t + \phi_2 \right) = \sqrt{ \small \mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2 + 2 \ \mathrm{a} \ \mathrm{b} \ \cos\left(\phi_1 - \phi_2 \right) } \cdot\cos\left[ \small \mathrm{arg}\!\left[ \mathrm{e}^{j \omega t} \left( \mathrm{a} \, \mathrm{e}^{j \phi_1 } + \mathrm{b} \, \mathrm{e}^{j \phi_2 } \right) \right] \right]$

Recuerde las identidades de argumentos complejos

a r gramo (z_{1} z_{2}) = a r gramo (z_{1}) + a r gramo (z_{2})

$\mathrm{arg}\!\left(z_1 z_2\right) = \mathrm{arg}\!\left(z_1\right) + \mathrm{arg}\!\left(z_2\right)$

Y también el hecho de que

a r gramo ({mi}^{j θ}) = θ

$\mathrm{arg}\!\left(\mathrm{e}^{j \theta}\right) = \theta$

De este modo

$\begin{align} \small \displaystyle \mathrm{a} \, \cos\left( \omega t + \phi_1 \right) + \mathrm{b} \, \cos\left( \omega t + \phi_2 \right) &= \sqrt{ \small \mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2 + 2 \ \mathrm{a} \ \mathrm{b} \ \cos\left(\phi_1 - \phi_2 \right)} \\ &\cdot\cos\left[ \small \omega t + \mathrm{arg}\!\left[ \left[ \mathrm{a} \cos\left( \phi_1 \right) + \mathrm{b} \cos\left( \phi_2 \right) \right] + j \left[ \mathrm{a} \sin\left( \phi_1 \right) + \mathrm{b} \sin\left( + \phi_2 \right) \right] \right] \right] \end{align}$

El punto es que, si los cosenos en el lado izquierdo tienen la misma parte de fase que está separada por el signo de suma/resta, podemos sacarlo de la función de argumento complejo, por lo tanto, lo simplifica.

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