¿Cómo resolver tanx−−−−√=1tan⁡x=1\sqrt{\tan x}=1 sin elevar al cuadrado?

La siguiente$2$Los casos son definitivamente diferentes entre sí:

$$\require{cancel} A=B\hspace{1em}\cancel{\hspace{-1em}{\iff}\hspace{-1em}}\hspace{1em}A^2=B^2$$

Porque si$A$y$B$tienen signos opuestos, entonces el enunciado falla.

La afirmación correcta debería ser:

$$\left|A\right|=\left|B\right|\iff A^2=B^2$$

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Sin embargo, la declaración$\sqrt {A}=B$inmediatamente nos dice que$A,B≥0$.

Esto se basa en la siguiente definición:

$$\sqrt {x^2}=|x|≥0,\thinspace x\in\mathbb R$$

Así tenemos,

$$\left|\sqrt{A}\right|=\left|B\right|\iff \sqrt A=B$$

Esto sigue,

$$\sqrt A=B\iff A=B^2$$

dónde$A,B≥0$.

Esto significa que, en este caso, no tenemos raíces extrañas.

No necesitamos cuadrar ya que sabemos que

$$\sqrt A=1 \iff A=1$$

por lo tanto

$$\sqrt{\tan x}=1 \iff \tan x=1 \iff x=\frac \pi 4 +n\pi$$

y no tenemos soluciones extrañas.

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Editar

En caso de que queramos obtener la solución elevando al cuadrado, tenemos en general que para$A>0$y$B>0$

$$\sqrt A = B \iff A=B^2$$

y por eso, procediendo también de esta manera, no tenemos soluciones extrañas.

$$\sqrt{\tan x}=1\\\tan x=1\\x=n\pi+\frac{\pi}{4}$$

has demostrado que

$$\sqrt{\tan x}=1\implies\tan x=1\implies x=n\pi+\frac{\pi}{4}$$ (la condición implícita de la ecuación dada de que$\tan x\ge0$justifica$\left(\sqrt{\tan x}\right)^2=\tan x$en el primer paso).

Pero fíjate también que

$$x=n\pi+\frac{\pi}{4}\implies\tan x=1\implies\sqrt{\tan x}=1$$ (tomando la raíz cuadrada principal en el último paso).

Por lo tanto, en este ejemplo, las tres líneas son equivalentes entre sí; por lo tanto, no se ha creado ninguna raíz extraña. Por lo tanto, elevar al cuadrado no crea necesariamente raíces extrañas.