Encontrar la función univalente con f(z1)=z2f(z1)=z2f(z_1)=z_2

Question

Encontrar la función univalente con f(z1)=z2f(z1)=z2f(z_1)=z_2

análisis
Matemáticas
números complejos
análisis complejo
integración compleja
composición-de-funciones-y-relaciones

Adán armónico

Dejar $\Omega$ ser un dominio simplemente conexo. Dejar $z_1,z_2\in\Omega$ . Demostrar que existe una función univalente tal que $f(\Omega)=\Omega$ y $f(z_1)=z_2$ .

Desde $\Omega$ es simplemente conectado, uno puede aplicar el teorema de mapeo de Riemann para obtener $g:\Omega\to\mathbb{D}$ ( $\mathbb{D}$ es el disco unidad) con $g(z_1)=0,g(\Omega)=\mathbb{D}$ . pensé en tomar

F (z) = {gramo}^{- 1} (gramo (z) + gramo (z_{2}))

$f(z)=g^{-1}(g(z)+g(z_2))$ de este modo

f (z_{1}) = g^{- 1} (g (z_{1}) + g (z_{2})) = z_{2}

$f(z_1)=g^{-1}(g(z_1)+g(z_2))=z_2$ . Por otro lado,

f

$f$ no mapea

Ω

$\Omega$ a sí mismo.

¿Cómo puedo construir un mapa que satisfaga los requisitos anteriores?

roberto israel

por supuesto el caso

Ω = C

$\Omega = \mathbb C$ también debe ser considerado (pero es fácil).

CHwC

Qué hacer en el caso

Ω = C

$\Omega = C$ ?

Respuestas (1)

Encontrar la función univalente con f(z1)=z2f(z1)=z2f(z_1)=z_2

por supuesto el caso $\Omega = \mathbb C$ también debe ser considerado (pero es fácil).

artem mavrín · Answer 1

Estás cerca: por el teorema de mapeo de Riemann existen biholomórficos $g, h : \Omega \to \mathbb{D}$ tal que $g(\Omega) = h(\Omega) = \mathbb{D}$ , $g(z_1) = 0$ , y $h(z_2) = 0$ . Entonces $f = h^{-1} \circ g : \Omega \to \Omega$ satisface $f(\Omega) = \Omega$ y $f(z_1) = z_2$ .

Editar. Como se señaló en los comentarios, esto requiere $\Omega \neq \mathbb{C}$ . Si $\Omega = \mathbb{C}$ , una transformación afín simple hace el truco.

Recuerde que el teorema de mapeo de Riemann también establece que $h^{-1}:D\to \Omega$ es holomorfo entonces $h^{-1}g$ es también.

Encontrar la función univalente con f(z1)=z2f(z1)=z2f(z_1)=z_2

Adán armónico

roberto israel

CHwC

Respuestas (1)

artem mavrín

DanielWainfleet

CHwC

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∃f:C∖D→C∃f:C∖D→C \exists f:\mathbb C \setminus D \to \mathbb C está acotado uno-uno holomorfo, ¿cómo?

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