¿Cómo debo pensar en la forma exponencial compleja de las ondas sinusoidales?

Digamos que hay una onda sinusoidal con amplitud$A$, frecuencia$\omega$y cambio de fase$\psi$, entonces una forma de escribirlo es$A cos(\omega t - \psi)$. Pero también se puede escribir como$Re(Ae^{i(\omega t - \psi)})$, y el uso de esta forma exponencial compleja parece ser común en ingeniería, física y en cualquier lugar con transformadas de Fourier/Laplace.

Entiendo por qué la parte real de la forma anterior es un coseno de la fórmula de Euler.$e^{i\theta} = cos(\theta) + isin(\theta)$, y entiendo la intuición geométrica de los números complejos como puntos en un plano.

Sin embargo, ¿qué información estamos perdiendo al desechar la parte imaginaria del complejo-exponencial?$Im(Ae^{i(\omega t - \psi)}) = Asin(\omega t - \psi)$, que es la parte real desplazada un poco, por lo que parece no ser nada. Pero todavía me hace sentir incómodo de usar.$Ae^{i(\omega t - \psi)}$en lugar de$A cos(\omega t - \psi)$ya que no entiendo porque agregar$i sin(\omega t - \psi)$(para obtener el rhs de euler) es justificable para empezar.

Entonces, ¿cómo pienso en la forma exponencial compleja de las ondas sinusoidales? Cuando alguien dice "hay una onda sinusoidal con amplitud$A$, frecuencia$\omega$y cambio de fase$\psi$", ¿puedo usar con seguridad la forma compleja en lugar de la forma coseno en mis cálculos, y simplemente tomar la parte real al final?