|z1−z2|≤|1−z1z2¯¯¯¯¯||z1−z2|≤|1−z1z2¯||z_1-z_2|\le|1-z_1\overline{z_2}|?

Question

adham

¿Es verdadera la siguiente desigualdad?

Dejar $z_1,z_2\in \mathbb{C}$ tal que $|z_1|=1,|z_2|=1$ . Entonces

| z_{1} - z_{2} | \leq | 1 - z_{1} \bar{z_{2}} | .

$|z_1-z_2|\le|1-z_1\overline{z_2}|.$ ¿Hay una buena manera de tratar de probar (o refutar) esto que no sea escribir

z_{1} = a + b i

$z_1=a+bi$ y

z_{2} = c + d i

$z_2=c+di$ y tratar de ver si la desigualdad se mantiene?

Cuadre ambos lados y use el hecho de que

w \bar{w} = | w |^{2} .

$w\bar{w}=|w|^{2}.$ Multiplique los corchetes y use las suposiciones. Luego tenga en cuenta que todos sus signos de implicación son reversibles.

Como todos los números tienen módulo uno, tienen la forma

e^{i θ_{k}}, k = 1, 2

$e^{i \theta_{k}}, \; k = 1, 2$ . Pero, también, multiplica el lado derecho de tu desigualdad por

| z_{2} |

$|z_{2}|$ :

| z_{2} (1 - z_{1} {\bar{z}}_{2}) | = \dots

$| z_{2} (1 - z_{1} \overline{z}_{2})| = \ldots$

Cuadre ambos lados y use el hecho de que $w\bar{w}=|w|^{2}.$ Multiplique los corchetes y use las suposiciones. Luego tenga en cuenta que todos sus signos de implicación son reversibles.
Como todos los números tienen módulo uno, tienen la forma $e^{i \theta_{k}}, \; k = 1, 2$ . Pero, también, multiplica el lado derecho de tu desigualdad por $|z_{2}|$ : $| z_{2} (1 - z_{1} {\bar{z}}_{2}) | = \dots$ $| z_{2} (1 - z_{1} \overline{z}_{2})| = \ldots$

jacky chong · Answer 1

Observar

\begin{aligned} | z_{1} - z_{2} | = | z_{2} | | z_{1} z_{2}^{- 1} - 1 | \end{aligned}

$\begin{align} |z_1-z_2| = |z_2||z_1z_2^{-1}-1| \end{align}$ pero

z_{2}^{- 1} = {\bar{z}}_{2}

$z_2^{-1} = \bar z_2$ desde

| z_{2} | = 1

$|z_2|=1$ .