Demostrar que uno de los dos números complejos dados es 111 o −1−1-1, cuando uv=5+2i3–√uv=5+2i3uv = 5 + 2i\sqrt{3}

Question

Demostrar que uno de los dos números complejos dados es 111 o −1−1-1, cuando uv=5+2i3–√uv=5+2i3uv = 5 + 2i\sqrt{3}

Matemáticas
números complejos
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jorge r

dado el conjunto $A = \{a + ib\sqrt{3} \mid a, b \in \mathbb{Z}\}$ y $u, v \in A$ con $uv = 5 + 2i\sqrt{3}$ , prueba que uno de $u$ y $v$ es $1$ o $-1$ .

Primero, representemos $u$ y $v$ como sigue: $u = a + ib\sqrt{3}$ y $v = c + id\sqrt{3}$ , dónde $a, b, c, d \in \mathbb{Z}$ .

Al hacer algunas operaciones básicas sobre lo que se nos da, obtuve lo siguiente $abcd = 0$ y $(a^2 - 3b^2)(c^2 - 3d^2) = 13$ . Porque $a, b, c, d$ son enteros, solo tenemos cuatro posibilidades para la última multiplicación: $1 \cdot 13, 13 \cdot 1, -1 \cdot (-13), -13 \cdot (-1)$ . Ahora, debemos considerar cada uno de estos casos y en cada caso también debemos tratar con $abcd = 0$ configurando cada uno de los números $a, b, c, d$ a $0$ por separado.

Después de hacer lo que expliqué anteriormente, primero obtuve $b = 0$ y $a = \pm 1$ y luego $d = 0$ y $c = \pm 1$ .

Sin embargo, esta solución parece ser demasiado larga y me gustaría tener una solución más directa. Entonces, si tienes alguna idea, ¡por favor compártela!

¡Gracias!

daniel pescador

Si

z \in A

$z \in A$ , que sabes sobre

| z |^{2}

$\lvert z\rvert^2$ ?

Respuestas (1)

Demostrar que uno de los dos números complejos dados es 111 o −1−1-1, cuando uv=5+2i3–√uv=5+2i3uv = 5 + 2i\sqrt{3}

watson · Answer 1

Dejar $N(a+bi\sqrt 3) := a^2+3b^2$ . Entonces puedes comprobar que $N(zz')=N(z)N(z')$ para cualquier $z,z' \in A$ . Esto es solo porque $N(z)=|z|^2$ .

Desde $uv=5 + 2i\sqrt{3}$ , usted obtiene $N(uv)=N(u)N(v)=N(5 + 2i\sqrt{3})=5^2+4\cdot 3=37$ . Desde $N(u)$ y $N(v)$ son enteros positivos, uno de ellos debe ser $1$ porque $37$ es primo

Aquí está el final:

Digamos $N(u)=1=a^2+3b^2$ . Resulta que $b=0$ porque es un número entero, por lo que $u=a=±1$ .

¡Esta es una solución muy simple y agradable! ¡Muchas gracias!
Me gusta esto. Pero, ¿no sería más esclarecedor para un estudiante si en lugar de implicar que N(u) es una función inventada para el propósito del ejercicio, usted señala que N(u) es simplemente $|z|^2$ y una herramienta lista en el arsenal de uno?
@fleablood: Estoy de acuerdo contigo, pero escribí "Esto es solo porque $N(z)=|z|^2$ ."
Oh, ¿me perdí eso? Mis ojos de "corrección de pruebas" están haciendo un trabajo muy pobre esta mañana.
@Watson (perdone por preguntar sobre algo fuera de tema) ¿puede decir cómo crear ese cuadro intermitente?
@JonathanRichardLombardy: ¡no hay problema! Esta caja mágica se crea cuando usas ">!". Puedes verlo aquí .

Demostrar que uno de los dos números complejos dados es 111 o −1−1-1, cuando uv=5+2i3–√uv=5+2i3uv = 5 + 2i\sqrt{3}

jorge r

daniel pescador

Respuestas (1)

watson

jorge r

watson

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watson

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Si z1z1z_1 y z2z2z_2 son dos números complejos, y si z31−3z21z2=2,3z1z22−z32=11z13−3z12z2=2,3z1z22−z23=11z_1^3-3z_1^2z_2=2,3z_1z_2^2-z_2^3=11 ,

USAMO 1973 (Ecuaciones simultáneas)

Número complejo Prueba de (z1z2)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z1¯¯¯¯¯z2¯¯¯¯¯(z1z2)¯=z1¯z2¯\overline{\left(\frac {z_1 {z_2}\right)}=\frac {\overline{z_1}}{\overline{z_2}}.

Demostrar que z¯1z2+z1z¯2=2R(z¯1z2)z¯1z2+z1z¯2=2ℜ(z¯1z2)\bar z_1 z_2+z_1 \bar z_2=2\Re(\bar z_1 z_2)