¿Existe una forma intuitiva de pensar en la regla del producto para derivadas?

d d X ( F ( X ) gramo ( X ) ) = F ′ ( X ) gramo ( X ) + F ( X ) gramo ′ ( X )

¿Hay alguna razón por la que esto tenga sentido? Quiero decir realmente, si divides las cosas en términos de pendientes de líneas tangentes y demás, están sucediendo muchas cosas aquí. ¿Hay alguna intuición geométrica detrás de esto a la que he estado ciego durante todos estos años?

gracias de antemano

Hay un argumento geométrico usando el área de un rectángulo. A ( X ) = tu ( X ) v ( X ) . Aquí hay una publicación de eso math.stackexchange.com/questions/397554/…
Encontré esto muy útil, es una de mis partes favoritas de la serie.
No puedo encontrar un buen enlace para ilustrar esto, pero mi intuición al respecto siempre se ha basado en pensar en una cadena de transmisión con dos ruedas de cadena elípticas. La ganancia de cada rueda de cadena aporta una ganancia que es proporcional a su ganancia en esa posición y la posición de la otra.
@RobArthan Mi mente débil tiene problemas para ver lo que estás explicando
Estoy tratando de explicar la regla del producto para derivados según su pregunta. ¿Andas en bicicleta? Haz algunos dibujos de cómo sería si las ruedas de la cadena fueran elípticas. Piense en cómo su trabajo en los pedales afectaría la posición de la rueda de la carretera.
3Blue1Brown cubre esto en YouTube en el capítulo 4 de su serie Essence of Calculus .

Respuestas (1)

Suponga que tiene un rectángulo con dimensiones F por gramo unidades. Entonces el área A = F gramo . Ahora supongamos F se incrementa por d F y gramo se incrementa por d F . El nuevo rectángulo tiene área

( F + d F ) ( gramo + d gramo ) = F gramo + F ( d gramo ) + gramo ( d F ) + ( d F ) ( d gramo ) .

Entonces el área se incrementó en

F ( d gramo ) + gramo ( d F ) + ( d F ) ( d gramo ) .

Como estamos moviendo las manos aquí, notamos que el último término no es solo diminuto, sino diminuto al cuadrado, por lo que lo ignoramos y notamos que el cambio en el área es realmente cercano a F ( d gramo ) + gramo ( d F ) .

Bien, agarrando esto para mi kit de herramientas para la próxima vez que enseñe cálculo.
@Alan Un gráfico del rectángulo es casi una prueba sin palabras. Hay uno en esta página: web.mit.edu/wwmath/calculus/ differentiation/products.html
¿Existe una forma intuitiva de pensar en la regla del producto para derivadas?
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