Corchete de mentira para álgebra de mentira de SO(n,m)SO(n,m)SO(n,m)

Por definición, el tensor métrico$\eta_{ij}$se transforma trivialmente bajo la representación definitoria de$SO(n,m)$.

$$\eta_{ij}=[D(g^{-T})]_{i}^{\ k}[D(g^{-T})]_{j}^{\ l}\eta_{kl} =[D(g^{-1})]^{k}_{\ i}[D(g^{-1})]^{l}_{\ j}\eta_{kl}$$ y esto vale para todos $g\in SO(n,m)$. Considere un subgrupo de un parámetro del representante definitorio con matrices $D(g)=e^{tJ}$dónde $J^{i}_{\ j}$es un elemento del álgebra de Lie y $t$es un parámetro real. Sustituir en la ecuación anterior, $$\eta_{ij}=[e^{tJ}]^{k}_{\ i}[e^{tJ}]^{l}_{\ j}\eta_{kl}$$ y diferenciar wrt $t$en la identidad $t=0$. $$0=J^{k}_{\ i}\delta^{l}_{\ j}\eta_{kl}+\delta^{k}_{\ i}J^{l}_{\ j}\eta_{kl} =J^{k}_{\ i}\eta_{kj}+J^{k}_{\ j}\eta_{ik}$$ Esta es la condición que deben cumplir los elementos del álgebra de Lie. Los elementos del álgebra de Lie pueden ser generados por un par de vectores antisimetrizados $x^{i}$, $y^{j}$. $$J^{i}_{\ j}=x^{i}y_{j}-y^{i}x_{j}$$ donde el descenso se realiza por el tensor métrico $x_{i}=\eta_{ij}x^{j}$. La condición del álgebra de Lie se satisface automáticamente al generar los elementos del álgebra de Lie de esta manera. Los elementos del álgebra de Lie $J_{ab}$en la pregunta solo se hacen eligiendo los vectores $x$y $y$como los vectores base $x^{i}=\delta{^i}_{a}$, $y_{i}=\eta_{ij}\delta^{j}_{b}=\eta_{ib}$. $$[J_{ab}]^{i}_{\ j}=\delta^{i}_{a}\eta_{jb}-\delta^{i}_{b}\eta_{ja}$$ Ahora calcule el conmutador (con suerte, dos usos diferentes de corchetes no son demasiado confusos), $$[J_{ab},J_{cd}]^{i}_{\ j}=[J_{ab}]^{i}_{\ k}[J_{cd}]^{k}_{\ j}-[J_{cd}]^{i}_{\ k}[J_{ab}]^{k}_{\ j}$$ y unas pocas líneas de cálculo directo dan, $$[J_{ab},J_{cd}]^{i}_{\ j}=\eta_{bc}[J_{ad}]^{i}_{\ j}-\eta_{ac}[J_{bd}]^{i}_{\ j}-\eta_{bd}[J_{ac}]^{i}_{\ j}+\eta_{ad}[J_{bc}]^{i}_{\ j}$$ como el conmutador para el representante de definición. El álgebra de Lie es la misma para todas las repeticiones del grupo. La pregunta pide el conmutador para un representante unitario del grupo. Para hacer esto, el subgrupo unitario de un parámetro es $D(g)=e^{itJ}$y así los elementos del álgebra de Lie del representante definidor se redefinen como pertenecientes a un representante unitario por el reemplazo $J\rightarrow iJ$. El conmutador ahora se convierte en, $$[iJ_{ab},iJ_{cd}]=\eta_{bc}iJ_{ad}-\eta_{ac}iJ_{bd}-\eta_{bd}iJ_{ac}+\eta_{ad}iJ_{bc}\\ -[J_{ab},J_{cd}]=i\eta_{bc}J_{ad}-i\eta_{ac}J_{bd}-i\eta_{bd}J_{ac}+i\eta_{ad}J_{bc}$$ cuál es el conmutador en la pregunta aparte de un cambio de signo general. Esto se soluciona fácilmente cambiando la definición de los elementos del álgebra de Lie del representante definitorio a, $$[J_{ab}]^{i}_{\ j}=\delta^{i}_{b}\eta_{ja}-\delta^{i}_{a}\eta_{jb} \ .$$

Aquí esbozaremos una posible derivación.

1. Dejar$\eta\in {\rm Mat}_{n\times n}(\mathbb{R})$ser una matriz simétrica real de firma$(p,q)$, dónde$n=p+q$.

2. Definir el grupo de mentira

   $$O(p,q)~:=~ \{ \Lambda\in {\rm Mat}_{n\times n}(\mathbb{R}) \mid \Lambda^T\eta \Lambda = \eta \},$$ dónde$\Lambda^T$denota la transpuesta$\Lambda$matriz. Demuestra por diversión que$O(p,q)=O(q,p)$.

3. probar que si$\Lambda_1, \Lambda_2 \in O(p,q)$, entonces el producto de matrices$\Lambda_1 \Lambda_2\in O(p,q)$.

4. probar que si$\Lambda \in O(p,q)$, entonces la matriz inversa$\Lambda^{-1} \in O(p,q)$.

5. Definir el álgebra de mentira

   $$o(p,q)~:=~ \{ M\in {\rm Mat}_{n\times n}(\mathbb{R}) \mid M^T\eta + \eta M = 0\}.$$

6. probar que si$M_1, M_2 \in o(p,q)$, entonces el conmutador de matriz

   $$[M_1, M_2]~:=~M_1M_2-M_2M_1 ~\in ~o(p,q).$$

7. Si$O(p,q)\ni \Lambda= {\bf 1}_{n\times n}+ M$, dónde$M\in {\rm Mat}_{n\times n}(\mathbb{R})$es infinitesimal, demuestre que$M\in o(p,q)$.

8. Definir generadores$J^{ij}= -J^{ji}\in{\rm Mat}_{n\times n}(\mathbb{R})$como

   $$(J^{ij})^k{}_{\ell}~:=~\eta^{ik}\delta^j_{\ell} - (i \leftrightarrow j).$$

9. Pruebalo$J^{ij}\in o(p,q)$.

10. Pruebalo

    $$[J^{ij},J^{k\ell}]~=~ \left(\eta^{jk}J^{i\ell} - (i \leftrightarrow j)\right) - (k \leftrightarrow \ell).$$

11. La convención anterior hace que el álgebra de Lie$o(n)$el conjunto de reales sesgados$n\times n$matrices, que son anti-hermitianas. Si quieres el álgebra de Lie$o(n)$para ser en cambio el conjunto de Hermitian$n\times n$matrices, modifique las definiciones anteriores con factores apropiados de la unidad imaginaria$i$.