Vínculo entre álgebra dinámica y grupo de simetría

En un marco general completo, probablemente como sabe, puede definir un sistema hamiltoniano como un sistema dinámico cuyo campo vectorial dice:

$$[X_{H}(x)]_{i}= \{x_{i},H\}$$ dónde $$x=(q_{1},...,q_{n},p_{1},...,p_{n})=(q,p)$$ es un vector del espacio de fase $\Gamma$(que es prácticamente siempre un espacio de Hilbert), $\{ ; \}$es un soporte de Poisson que satisface las propiedades habituales y $H=H(x)$es el hamiltoniano del sistema, definido en el espacio de fases. Un objeto realmente importante que se puede definir, es el llamado tensor de Poisson, definido como: $$J_{jk} = \{x_{j},x_{k}\}$$ Tenga en cuenta que de esta definición es obvio que $J$tiene la misma propiedad de simetría sesgada de los corchetes de Poisson: esto es fundamental para redefinir una formulación de cualquier sistema hamiltoniano en términos de $J$. En este punto, sin entrar mucho en detalles, se puede desarrollar lo escrito arriba redefiniendo los corchetes de Poisson en términos del tensor de Poisson y de esta forma se puede escribir una forma general completa de la ecuación de Hamilton de CUALQUIER sistema hamiltoniano: $$\dot{x} =J(x)\nabla_{x}H(x)$$ dónde $J$es el tensor de Poisson y la notación $\nabla_{x}$significa que el gradiente actúa sobre un vector del espacio de fase $x$. Puedes hacer CUALQUIER cambio de variable $x \rightarrow y=f(x)$que desee, pero NUNCA perderá las propiedades hamiltonianas de su sistema (es decir, las propiedades de los frenos de Poisson). Esto es realmente importante y significa que si un sistema es hamiltoniano, según las definiciones anteriores, seguirá siendo hamiltoniano INDEPENDIENTEMENTE de la coordenada elegida para describirlo.

El concepto del tensor de Poisson también es importante para caracterizar el conjunto de invariantes de Casimir (es decir, el grupo de simetría) de un sistema hamiltoniano dado: Un invariante de Casimir$C(x)$es una función definida en el espacio de fase, tal que:

$$J(x)\nabla C(x)=0$$ en otras palabras, es una función que tiene el gradiente que está en el Kernel del tensor de Poisson. Estas funciones describen la invariancia de su sistema. El punto principal (que espero pueda responder a su pregunta) es fácil de entender simplemente a partir de la definición de un invariante de Casimir y es que CUALQUIER sistema hamiltoniano que esté descrito por el mismo tensor de Poisson, tiene los mismos invariantes de Casimir (es decir, el mismo simetría)! No es correcta la forma en que planteas tu pregunta, porque todo sistema hamiltoniano tiene un álgebra de funciones bien definida $A(\Gamma)$cuyo producto bilineal es un corchete de Poisson que satisface las propiedades usuales que conoces: si no es posible definir un corchete de Poisson no puedes tener ningún sistema hamiltoniano. No tiene sentido lo que está pidiendo porque la definición del álgebra hamiltoniana clásica es realmente general y, repito, bien definida en cualquier caso. En otras palabras, el álgebra hamiltoniana definida en el espacio de fase no cuenta si estás hablando de invariancia y simetrías de un sistema hamiltoniano pero, como te escribí anteriormente, el principal instrumento para caracterizar este hecho es el tensor de Poisson. del sistema: el mismo tensor de Poisson -> el mismo Casimir(simetrías)