¿Complejo conjugado de la ecuación de Schrödinger?

En términos generales, el complejo conjugado de un operador no es una noción estándar de la teoría de operadores, aunque se puede definir después de haber introducido algunas nociones generales.

Definición . una conjugación $C$en un espacio de Hilbert$\cal H$es un mapa antilineal$C : \cal H \to \cal H$tal que es isometrico ($||Cx||=||x||$si$x\in \cal H$) e involutiva ($CC=I$).

Hay infinitos mapas de este tipo, al menos uno para cada base de Hilbert en$\cal H$(el mapa que conjuga las componentes de cualquier vector con respecto a esa base). En$L^2$espacios hay una conjugación estándar

$$C : L^2(\mathbb R^n, dx) \ni \psi \mapsto \overline{\psi}\in L^2(\mathbb R^n, dx)\:,$$ dónde $\overline{\psi}(x) := \overline{\psi(x)}$para cada $x \in \mathbb R^n$y donde $\overline{a+ib}:= a-ib$para $a,b \in \mathbb R$.

Definición . Un operador$H : D(H) \to \cal H$(donde en adelante$D(H)\subset \cal H$) se dice que es real con respecto a una conjugación$C$si

$$CHx=HCx \quad \forall x \in D(H)$$ (lo que implica $C(D(H)) \subset D(H)$y por lo tanto $C(D(H)) = D(H)$en vista de $CC=I$, de modo que la condición escrita pueda reformularse de manera equivalente $CH=HC$).

el complejo conjugado$H_C$de un operador $H$con respecto a una conjugación$C$, Puede ser definido como

$$H_C :=CHC\:.$$ Este operador con dominio $C(D(H))$es simétrica, esencialmente autoadjunta, autoadjunta si $H$respectivamente si es simétrica, esencialmente autoadjunta, autoadjunta. Evidentemente coincide con $H$si y solo si $H$es real con respecto a $C$.

Vayamos a su problema. Empecemos por la ecuación de Schroedinger

$$-i \frac{d}{dt} \psi_t = H\psi_t\:.$$ Aquí tenemos un mapa de valores vectoriales $$\mathbb R \ni t \mapsto \psi_t \in \cal H\:,$$ tal que $\psi_t \in D(H)$para cada $t \in \mathbb R$y la derivada se calcula con respecto a la topología del espacio de Hilbert cuya norma es $||\cdot|| = \sqrt{\langle \cdot| \cdot \rangle}$: $$\frac{d}{dt} \psi_t = \dot{\psi}_t \in \cal H$$ medio $$\lim_{h\to 0} \left|\left| \frac{1}{h} (\psi_{t+h} -\psi_t) - \dot{\psi}_t \right|\right|=0\:.$$ (Ver el comentario final)

Si$C : \cal H \to \cal H$es una conjugación, ya que es isométrica e involutiva, en vista de la definición anterior de derivada, tenemos

$$C\frac{d}{dt} \psi_t = \frac{d}{dt} C\psi_t\tag{1}$$ donde ambos lados existen o no simultáneamente.

Resumiendo, dada una conjugación$C$, y el operador hamiltoniano (autoadjunto)$H$, ambos en el espacio de Hilbert$\cal H$, el complejo conjugado de la ecuación de Schroedinger

$$-i \frac{d}{dt} \psi_t = H\psi_t\:.\tag{2}$$ es una ecuación relacionada satisfecha por $C\psi_t$y recién obtenido aplicando $C$a ambos lados de (2) y tomando (1) y $CC=I$en cuenta, obteniendo $$i \frac{d}{dt} C\psi_t = H_C\: C\psi_t\:.$$ Si $H$es real con respecto a $C$(este es el caso de una partícula sin espín descrita en $L^2(\mathbb R^3)$, asumiendo el hamiltoniano de la forma $P^2/2m + V$y $C$es la conjugación compleja estándar de funciones de onda), la ecuación se reduce a $$i \frac{d}{dt} C\psi_t = H C\psi_t\:.$$

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COMENTARIO . Vale la pena enfatizar que$-i \frac{d}{dt}$no es un operador en el espacio de Hilbert$\cal H$como por ejemplo,$H$es. Computar$H\psi$, basta con conocer el vector$\psi \in D(H)$. Computar$\frac{d}{dt}\psi_t$debemos conocer una curva de vectores

$$\gamma :\mathbb R \ni t \mapsto \psi_t \in \cal H\:.$$ $\frac{d}{dt}$calcula la derivada de dicha curva definiendo otra curva $$\dot{\gamma} :\mathbb R \ni t \mapsto \frac{d}{dt}\psi_t \in \cal H\:.$$ Más débilmente uno puede ver $\frac{d}{dt}|_{t_0}$como un mapa que asocia curvas con valores vectoriales definidas en un vecindario de $t_0$a vectores $\frac{d}{dt}|_{t_0}\psi_t$. En ambos casos no tiene sentido aplicar la derivada a un solo vector $\psi$, al contrario de $H\psi$está bien definido.

En realidad, desea la transposición-conjugada, que se aplica a todo:

$$(i\partial_t |\psi\rangle )^\dagger = (H\|psi\rangle)^\dagger$$ Esto da: $$-i\partial_t |\psi\rangle^\dagger = |\psi\rangle^\dagger H^\dagger$$ que se reduce a: $$-i\partial_t \langle\psi| = \langle\psi|H$$

El operador diferencial permanece sin cambios.

Tenga en cuenta si sus unidades no tienen$\hbar=1$, pertenece a la LHS.