¿Existe un análogo del espacio de configuración en la mecánica cuántica?

Sí, hay un enfoque geométrico, se llama, como se podría suponer, cuantización geométrica. Si lee una literatura sobre el tema, encontrará muchos resultados hermosos, describiré la idea básica a continuación.

La cuantización geométrica funciona con un espacio de fase en lugar de una configuración, es decir, comienza con una variedad simpléctica. En realidad, es un caso más general porque una vez que tienes la variedad de configuración, la variedad simpléctica correspondiente es solo su paquete cotangente con estructura simpléctica natural.

Debería corregir datos geométricos adicionales: una polarización. Es una distribución integrable de medio rango, por lo que localmente en el espacio de fase tiene una foliación, que define qué dirección corresponde a las "coordenadas" y qué, a los momentos. Por ejemplo, en el caso habitual "p,q", se toma una distribución de medio rango, es decir, un subpaquete de medio rango del paquete tangente, generado por${\partial\over\partial p}$, por lo que genera "dirección de momento" y la dirección transversal corresponde a "coordenadas".

Luego, construye un paquete de líneas de precuantificación, que es un paquete de líneas hermítico con conexión hermítica, de modo que su curvatura es proporcional a la forma simpléctica (la normalización habitual${i\over 2\pi}R = \omega$, dónde$R$-- curvatura,$\omega$-- estructura simpléctica), por lo que la forma simpléctica es solo la primera clase de Chern de este conjunto de líneas. No necesita polarización para este paso. Pero en realidad necesita que la primera clase de Chern del paquete sea un número entero, lo que puede considerarse como un caso general (que corresponde en el caso compacto a la condición de que el espacio de fase tiene un volumen entero en las unidades de$(2\pi\hbar)^{dim/2}$).

Luego considera el espacio de secciones de este paquete y toma su subespacio, aniquilado pero la conexión (derivada covariante), tomada a lo largo de la polarización. Lo que obtuvo (o, más precisamente,$L^2$-cierre de secciones cuadradas integrables del subespacio obtenido) se define como el espacio de Hilbert del problema. En el ejemplo estándar, toma funciones en el espacio de fase, aniquiladas por${\partial\over\partial p}$, que son solo funciones$\psi(q)$dependiendo únicamente de las coordenadas, y luego considerar funciones de coordenadas integrables al cuadrado.

A continuación, para cada función (suave) en la variedad, crea operadores en ese espacio. Hay diferentes prescripciones existentes para eso, no lo cubriré aquí.

También debe tener en cuenta que existe otra versión de cuantización geométrica, la cuantización de Berezin-Toeplitz, en la que no necesita polarización en el sentido descrito anteriormente. En su lugar, define el espacio de Hilbert como un núcleo del$Spin^c$Operador de Dirac, o como un núcleo del operador "Bochner-Laplasian renormalizado". Este enfoque es bastante computable, especialmente en el caso en que la variedad simpléctica es en realidad Kahler (en tal caso, la cuantización geométrica estándar también funciona bien, ya que hay una polarización holomorfa canónica).

También debo agregar que, dado que no existe una noción global de coordenadas en el caso general, no existe un "operador de coordenadas", sino que construye operadores, correspondientes a funciones suaves en la variedad.

Y un comentario más: es tentativo decir que la integral de trayectoria podría proporcionar una descripción sin coordenadas. Pero, de hecho, la integral de trayectoria no es una noción bien definida por sí misma, no existe una noción bien definida e invariable de integración sobre el espacio de infinitas dimensiones de las trayectorias en general. Para definir la integral de la ruta, debe corregir algunos datos adicionales, debe "regularizarlos" (discretizar, expandir el modo, lo que sea). En muchos casos, eso incluirá también la fijación de coordenadas. Además, en el caso general, esta regularización puede romper la invariancia de coordenadas del espacio de fase.

La integral de ruta no se puede considerar como una receta honesta. En general, es solo un instrumento heurístico utilizado por los físicos en los casos en que no tienen mejores herramientas para usar. Aunque en algunos ejemplos particulares se puede justificar la integral de trayectoria.

Si trabaja con una integral de ruta para definir el sistema cuántico, entonces la integral de ruta suma las rutas que viven en la variedad. La medida de integración viene dada por la acción, que es una integral sobre un camino dado, y se define sin referirse a un sistema de coordenadas específico.