SUSY QM y el teorema del índice de Atiyah-Singer

1. OP quiere evaluar el índice

   $${\rm Tr}(-)^F e^{-\beta H}=\int_{PBC}\![d\phi]\int_{PBC}[d\psi]~ e^{-S_E[\phi,\psi]},\tag{2.5}$$ en Ref. 1 con condiciones de contorno periódicas (PBC) tanto para el bosón$\phi\equiv x$y el fermion$\psi$. Por lo tanto, los componentes de Fourier correspondientes están etiquetados con números enteros$^1$ $n\in\mathbb{Z}$. Se puede argumentar que (2.5) no depende de$\beta$, para que se pueda considerar la$\beta\to 0^+$límite.

2. Antes de discutir el modelo de OP con 1 fermión real, primero discutimos un modelo con 2 fermiones reales$\psi_1^j$y$\psi_2^j$, o de manera equivalente, 1 fermión complejo$\psi^j=(\psi_1^j+i\psi_2^j)/\sqrt{2}$. Ref. siguiente 2, El Lagrangiano de Minkowski dice$^2$

   $$L_M~=~ \frac{1}{2}g_{ij}(x)\dot{x}^i\dot{x}^j +\frac{i}{2}\sum_{\alpha\in\{1,2\}}\psi^i_{\alpha} g_{ij}(x) \left(\dot{\psi}^j_{\alpha}+\dot{x}^m\Gamma^j_{mk}(x)\psi^k_{\alpha}\right)$$ $$+\frac{1}{4}R_{ijk\ell}(x)\psi^i_1\psi^j_1\psi^k_2\psi^{\ell}_2\tag{74}$$ con fermiones reales en Ref. 2, o equivalente $$L_M~=~ \frac{1}{2}g_{ij}(\phi)\dot{\phi}^i\dot{\phi}^j +i\psi^{\ast i} g_{ij}(\phi) \frac{D\psi^j}{dt} -\frac{1}{4}R_{ijk\ell}(\phi)\psi^{\ast i}\psi^{\ast j}\psi^k\psi^{\ell}\tag{4.1}$$ con fermiones complejos en Ref. 1. A continuación rotamos Wick $\tau=it$. La acción euclidiana es $$S_E~=~\int_0^{\beta} d\tau ~ L_E.$$ A continuación, divida una ruta virtual arbitraria$(x,\psi)$en modos cero y modos no constantes: $$x^i(\tau)~=~x^i_0 +\xi^i(\tau), \qquad \psi^j_{\alpha}(\tau)~=~\psi^j_{\alpha 0}+\eta^j_{\alpha}(\tau).$$ Los modos no constantes$(\xi,\eta)$tener componentes de Fourier etiquetados por enteros distintos de cero$n\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}$. Vamos a cambiar la escala de las antiguas variables no primadas a las nuevas variables primadas $$\tau~=~ \beta\tau^{\prime},\qquad L_E~=~ \frac{L^{\prime}_E}{\beta},\qquad S_E~=~ S^{\prime}_E, \qquad g_{ij}~=~ g^{\prime}_{ij},$$ $$x^i_0~=~ x^{i\prime}_0,\qquad \xi^i~=~ \sqrt{\beta}\xi^{i\prime},\qquad \psi^i_{\alpha 0} ~=~\frac{\psi^{i\prime}_{\alpha 0}}{\beta^{1/4}},\qquad \eta^i_{\alpha}~=~ \eta^{i\prime}_{\alpha}.$$ Se puede argumentar que la integral de trayectoria total (super) jacobiana de esta transformación es precisamente$1$, por ejemplo, a través de la regularización de la función zeta $$\prod_{n\in\mathbb{Z}} \sqrt{\beta} ~=~1.$$ Eliminamos los números primos de la notación a partir de ahora. Sólo términos cuadráticos en$(\xi,\eta)$sobrevivir en el lagrangiano euclidiano $$L^{(2)}_E~=~ \frac{1}{2}g_{ij}(x_0)\dot{\xi}^i\dot{\xi}^j +\eta^{\ast i} g_{ij}(x_0)\dot{\eta}^j -\frac{1}{4}R_{ijk\ell}(x_0)\psi^{\ast i}_0\psi^{\ast j}_0\psi^k_0\psi^{\ell}_0 +{\cal O}(\beta).$$ El término$\psi^{\ast i}_0 g_{ij}(x_0)\dot{\eta}^j$desaparece de forma idéntica debido a la CBP.

   El procedimiento de escalado anterior$\beta\to 0^+$es un ejemplo de localización a caminos constantes

   $$(x^i(\tau),\psi^j_{\alpha}(\tau))~\longrightarrow~ (x^i_0,\psi^j_{\alpha 0})$$ en una integral de trayectoria. La integral de trayectoria completa viene dada por la fórmula de Duistermaat-Heckman y el método de descenso más pronunciado para la firma euclidiana; o de manera equivalente, la fórmula de fase estacionaria de WKB para la firma de Minkowski, cf. referencias 4-5.

   El dof fermiónico imita al complejo de Rham . Se puede demostrar que el índice de Witten (2.5) se convierte en las características de Euler , cf. el teorema de Chern-Gauss-Bonnet , y la ec. (4.3) en la ref. 1.$\Box$

3. Ahora volvemos a la pregunta de OP. El lagrangiano euclidiano de OP [que corresponde a la ec. (73) en la ref. 2] se obtiene imponiendo la condición adicional

   $$\psi_1^i~=~\psi_2^i~=~\psi^i/\sqrt{2}.$$ El término de curvatura cuartica desaparece por simetría. El cambio de escala de las antiguas variables no primadas a las nuevas variables primadas ahora lee $$\tau~=~ \beta\tau^{\prime},\qquad L_E~=~ \frac{L^{\prime}_E}{\beta},\qquad S_E~=~ S^{\prime}_E, \qquad g_{ij}~=~ g^{\prime}_{ij},$$ $$x^i_0~=~ x^{i\prime}_0,\qquad \xi^i~=~ \sqrt{\beta}\xi^{i\prime},\qquad \psi^i_0 ~=~\frac{\psi^{i\prime}_0}{\sqrt{\beta}},\qquad \eta^i~=~ \eta^{i\prime}.$$ Se puede argumentar que la (super) jacobiana integral de trayectoria total de esta transformación sigue siendo precisamente$1$. Sólo términos cuadráticos en$(\xi,\eta)$sobrevivir en el lagrangiano euclidiano $$L^{(2)}_E~=~ \frac{1}{2}g_{ij}(x_0)\dot{\xi}^i\dot{\xi}^j -\frac{1}{4}R_{ijab}(x_0)\psi^a_0\psi^b_0\xi^i\dot{\xi}^j+\frac{1}{2}\eta^a \dot{\eta}^a+{\cal O}(\beta).\tag{78}$$ cf. Árbitro. 2. Aquí$a,b$son índices planos (también conocidos como índices de vielbein). El cálculo (78) se simplifica utilizando las coordenadas normales de Riemann , cf. $$\Gamma^{k}_{ij}(x)~\sim~ \frac{1}{2} R^k{}_{i\ell j}(x_0) \xi^{\ell} \tag{5.10}$$ en Ref. 3.

   Los fermiones forman ahora un álgebra de Clifford, de modo que el índice (2.5) se convierte en el género Dirac / A-roof , cf. ecuaciones (79)-(81) en la ref. 2.$\Box$

Referencias:

1. L. Alvarez-Gaume, Supersimetría y el teorema del índice de Atiyah-Singer, Com. Matemáticas. física 90 (1983) 161 .

2. L. Alvarez-Gaume y E. Witten, Anomalías gravitacionales, Nucl.Phys. B234 (1984) 269 .

3. D. Friedan y P. Windey, Derivación supersimétrica del índice Atiyah-Singer y la anomalía quiral, Nucl.Phys. B235 (1984) 395 .

4. RJ Szabo, Localización equivalente de integrales de trayectoria, hep-th/9608068 .

5. S. Cordes, G. Moore y S. Ramgoolam, Lectures on 2D Yang-Mills Theory, Equivariant Cohomology and Topological Field Theories, hep-th/9411210 ; Capítulo 12.

6. H. Oogori, Clase 8: Supersimetría y teoremas de índice .

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$^1$Las condiciones de contorno antiperiódicas (ABC) corresponden a modos semienteros.

$^2$Hemos corregido algunos errores tipográficos de índice en eq. (74) de la ref. 2. Otro error tipográfico en la Ref. 2 es eso$\tau$en la ec. (74) debe ser$t$. Ref posterior. 2 se olvida de quitar un$i$delante del término cinético rotado por Wick para los fermiones en la ecuación. (78).