Mecánica cuántica en una variedad

Según tengo entendido, hay esencialmente dos formas en las que puedes estudiar la mecánica cuántica en una variedad con cierta curvatura. En términos clásicos, estas dos formas conducen a la misma física, pero en un enfoque mecánico cuántico son distintas.

El primer enfoque es pensar en una partícula que se mueve "libremente" a través del espacio tridimensional, pero sujeta a fuerzas externas que limitan la partícula a alguna subvariedad. La partícula vive, en cierto sentido, en un potencial de confinamiento que define la multiplicidad. El espacio de fase de la partícula es, desde el principio, el espacio de fase habitual asociado con el espacio tridimensional. Sin embargo, el potencial externo limita la partícula a algún subespacio de este espacio de fase.

El segundo enfoque es trabajar con coordenadas generalizadas, como se hace en la mecánica lagrangiana. Las coordenadas de la partícula son entonces una parametrización de la subvariedad. Lo importante aquí es que no hay referencia a las coordenadas del espacio tridimensional. Un ejemplo es el péndulo, que se puede describir únicamente en términos del ángulo que forma el péndulo con el eje z.

Clásicamente no hay distinción entre los dos enfoques. Esto ya no se sostiene cuando pasas a la mecánica cuántica. Si sigue el primer enfoque, utilizando algún potencial de confinamiento para mantener la partícula en la variedad, se enfrentará al principio de incertidumbre que prohíbe la localización exacta de la partícula en la variedad. Debido a este principio, la partícula nunca estará completamente protegida del espacio dimensional más grande. Sin embargo, aún puede configurar sistemáticamente el procedimiento de cuantificación. La ventaja de este enfoque es que la cuantización funciona de la manera habitual (después de todo, se trabaja con coordenadas cartesianas). La resolución consiste esencialmente en dividir la función de onda y la ecuación de Schroedinger (SE) en contribuciones debidas al potencial de confinamiento y una especie de SE efectivo para la parte restante de la función de onda.Curvatura media y curvatura de Gauss de la variedad correspondiente.

Esta es una característica muy importante: un cilindro, por ejemplo, no tiene curvatura de Gauss, solo una curvatura media. En el segundo enfoque encontrará que no hay distinción entre dos cilindros con diferentes curvaturas medias, porque en este enfoque solo aparece la curvatura de Gauss. Tomemos, por ejemplo, una partícula que vive en una línea 1D. Solo necesita una coordenada para describir esta línea, por lo que para el segundo enfoque, todos los sistemas son equivalentes. Pero en el primer enfoque, debe especificar de qué manera la línea está incrustada en el espacio dimensional superior y cómo la partícula está confinada al espacio dimensional inferior.

El segundo enfoque puede parecer más natural, si piensas como un matemático. En este enfoque, necesita una forma de cuantificar las coordenadas generalizadas, que es mucho más sutil que la cuantificación ordinaria. El problema que aqueja a este enfoque es el llamado problema del pedido. Básicamente, desea reemplazar la etiqueta de impulso por un operador de derivación$p \rightarrow -i\hbar\nabla$. Además, también existe la opción de parametrización de la variedad, que por supuesto no debería tener ningún efecto en la física subyacente (similar a la relatividad general). El problema de ordenamiento establece que usted no sabe a priori de qué manera deben ordenarse las variables clásicas (conmutadoras) antes de reemplazarlas por sus contrapartes mecánicas cuánticas (no conmutativas). Lo que es aún peor, debido a la curvatura del espacio, el operador derivado también contiene cierta ambigüedad. Existe una ambigüedad en la elección de su operador de cantidad de movimiento y su hamiltoniano (y cualquier otra función). Muchos hamiltonianos de la mecánica cuántica tienen el mismo límite clásico, y el principio de equivalencia (es decir, vincular la mecánica cuántica con la física clásica) no dicta cuál es el mejor. Por ejemplo, el operador cinético$\nabla^2$se puede definir usando el laplaciano canónico o el operador de Laplace-Beltrami. Aún así, hay algún trabajo por ahí que motiva un principio de equivalencia generalizado (ver, por ejemplo, Kleinert) y da como resultado un procedimiento de cuantificación consistente.

Ambos enfoques tienen características interesantes, pero el primero es en realidad un poco más físico. La razón es que en la materia condensada se trata de potenciales de confinamiento debido a alguna red iónica. Tomemos, por ejemplo, el grafeno, que es una superficie bidimensional. Resulta que esta superficie no es completamente plana, pero siempre formará algunas ondas. Estas deformaciones de la superficie se pueden interpretar como si los electrones (o los fermiones de Dirac, si desea utilizar la teoría efectiva) vivieran en una variedad curva incrustada en una superficie tridimensional. Esto lleva a aplicaciones hilarantes, como la existencia de agujeros de gusano en el grafeno. Pero al final la curvatura tiene una manifestación muy física en las propiedades electrónicas del sistema.

= El primero de estos enfoques, que utiliza un potencial de confinamiento, se analiza en estos artículos de Costa:

http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.23.1982

http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.25.2893 (caso de muchas partículas)

El segundo enfoque se trata en este artículo de revisión de BS De Witt: http://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.29.377

Consulte también el libro de Kleinert, que tiene un capítulo completo sobre el uso de un enfoque Path Integral: http://www.amazon.com/Integrals-Quantum-Mechanics-Statistics-Financial/dp/9814273562

Agujeros de gusano de grafeno: http://arxiv.org/abs/0909.3057

Aquí hay una descripción general de los métodos de cuantificación: http://arxiv.org/abs/math-ph/0405065

La mayor parte de este artículo trata sobre QM en variedades.

Cuando estudias el momento angular en QM, este es un caso de partícula en una esfera. Las funciones de onda son los armónicos esféricos, el hamiltoniano es$L^2$, etc. Puedo pensar en muchos otros ejemplos en los que el sistema de configuración de algún sistema QM sería curvo (por ejemplo, alguna variedad de grupo o espacio lateral), así que no creo que haya ninguna razón física para no mirar esos ejemplos.

Para un conjunto de ejemplos más sofisticado, hay muchos estudios sobre mecánica cuántica supersimétrica en varias variedades, comenzando con este artículo Supersymmetry and Morse Theory de Ed Witten. La conexión entre SUSY QM y QFT en una variedad y la topología (o, a veces, incluso la geometría) de la variedad subyacente se convirtió en una especie de industria desde entonces.

Se puede considerar otra generalización de la$L^2(\mathbb R^3)$modelo al señalar que$\mathbb R^3$es simplemente el espacio de configuración,$Q$, de una sola partícula. Hay un campo llamado cuantización geométrica en el que la variedad base se extiende desde un espacio de configuración a una variedad simpléctica completa.$(M,\omega)$.

La idea es que toda la geometría hamiltoniana se pueda codificar en la forma simpléctica de 2$\omega$. Por tanto, se puede hablar de corchetes de Poisson {f,g}, observables clásicos, etc. La variedad simpléctica es el espacio geométrico natural para el estudio de la mecánica clásica de cualquier sistema. Las variedades simplécticas pueden tener la forma$M=T^*Q$- como un haz cotangente (y por lo tanto para una sola partícula ser difeomorfo a$\mathbb R^6$). Sin embargo, pueden surgir en otros casos, por ejemplo mediante la reducción de restricciones, o de forma independiente como soluciones de ecuaciones de campo. En casos de dimensión finita, las variedades simplécticas son de 2N dimensiones.

A continuación, se construye el espacio de Hilbert sobre este. Este procedimiento consiste en introducir un haz de líneas complejo (localmente$U \times \mathbb C$) B sobre el espacio M. Hay ciertas condiciones topológicas necesarias para asegurar la existencia de las secciones de este paquete (que están relacionadas con las antiguas condiciones de cuantificación de Bohr). Cuando las secciones existen, se puede introducir un operador de emparejamiento y construir un espacio de Hilbert.

La condición de que la función de onda$\Psi$estar en una representación (digamos la representación de posición) se codifica introduciendo lo que se conoce como una polarización sobre M. Esta es una foliación de M sujeta a ciertas condiciones. Las secciones deben ser constantes a lo largo de estas foliaciones. Este proceso geométrico da como resultado la construcción de expresiones familiares de posición y momento para la función de onda y, en cierto sentido, reconstruye el espacio de configuración si se desea.

Sin embargo, a menudo se puede introducir una estructura compleja$J$tal que$J^2=-1$en M que cuando es compatible con la forma simpléctica$\omega$resulta en algunas propiedades adicionales. En primer lugar, esto introduce una métrica en M y, en segundo lugar, tenemos$(M,\omega)$convertirse en una variedad de Kahler.

Así que ahora el "espacio de fase" del sistema clásico es una variedad de Kahler. Además, las condiciones de polarización mencionadas anteriormente dan como resultado$\Psi(z)$- una función holomorfa de z. Como ejemplo concreto

$z = x + ip$

sería la coordenada holomorfa en 2 (real) D. Esta representación holomorfa compleja para ejemplos elementales fue introducida por Bergmann en la década de 1940, pero en el contexto de la cuantificación geométrica es el más simple de los ejemplos de Kahler. En estos ejemplos de Kahler los estados Coherentes juegan un papel fundamental.

En términos de variedades no triviales, otra clase interesante de ejemplos de cuantización geométrica son los ejemplos de simetría (grupo de Lie). Aquí, la variedad clásica se construye a partir de la variedad de grupo en sí (examinando órbitas coadjuntas). Como ejemplo concreto$SU(2)$tiene como variedad clásica$S^2$. Es decir, la esfera de radio s es el espacio de fase clásico para los grados de libertad de rotación de una partícula elemental con espín s.

Todo esto puede ser un marco uniforme para estudiar el proceso de cuantización y las implicaciones de topologías no triviales clásicamente (Bohm-Aharanhov, fase Berry, etc.).

Un texto es Cuantización geométrica .

Puede echar un vistazo a la cuantización de la deformación.

Ver por ejemplo:

Bayen, F.; Flato, M.; Fronsdal, C.; Lichnerowicz, A.; Sternheimer, D.: La mecánica cuántica como deformación de la mecánica clásica. En: Let. Matemáticas. física 1 (1977), págs. 521–530

Bayen, F.; Flato, M.; Fronsdal, C. ; Lichnerowicz, A.; Sternheimer, D.: Teoría de la deformación y cuantificación. En: Ana. física 111 (1978), págs. 61–151

por los papeles originales.

Consulte, por ejemplo , http://omnibus.uni-freiburg.de/~sw12/Download/intro.pdf para obtener una breve introducción elemental. http://iopscience.iop.org/1742-6596/103/1/012002 también puede ser interesante como introducción.

El movimiento mecánico cuántico de una partícula en una variedad curva.$X$se llama un ejemplo de un "modelo sigma no lineal". Consulte en el nLab at sigma-model para obtener más información. Esta es una noción muy fundamental de la física cuántica. Dado que el espacio-tiempo en el que habitamos es en general curvo, cualquier partícula cuántica que se propague en ese espacio-tiempo viene dada por un modelo sigma no lineal.

Esto tiene una relación interesante con cuestiones profundas de la geometría: a saber, uno puede preguntarse hasta qué punto se puede recuperar la geometría curva de alguna variedad a partir de la física de una partícula cuántica que se propaga sobre ella, por lo tanto, de su espacio de estados y de la energía niveles, de ahí el espectro, de su hamiltoniano. Esta cuestión de la "geometría espectral" ha sido resuelta por Alain Connes, mediante la noción de un " triple espectral ". Tal como triple es, en términos físicos, nada más que

1. un espacio de estados de Hilbert

2. un hamiltoniano para una partícula cuántica (o más bien un operador de Dirac para una partícula giratoria);

3. un álgebra de observables espaciales densamente incrustados en el espacio de Hilbert.

El teorema fundamental de los triples espectrales, por lo tanto, de la mecánica cuántica en variedades curvas, es que se puede recuperar la geometría de Riemann de la "variedad objetivo" a partir de estos datos. A su vez, el impacto fundamental de esta observación es: también hay "triples espectrales" y, por lo tanto, partículas mecánicas cuánticas como las anteriores que no provienen de múltiples objetivos curvos suaves. Entonces, si bien estos no están dados por la geometría ordinaria, todavía se pueden entender como que describen el movimiento de partículas cuánticas en espacios generalizados, es decir, en espacios en geometría no conmutativa . Desde este punto de vista, la "geometría no conmutativa" es cualquier cosa que una partícula cuántica "ve" como sus "sondas" en su espacio objetivo. Ver en el nLab en Geometría espectral y gravedad .

Esta perspectiva sobre los modelos sigma no lineales es crucial para comprender los desarrollos modernos, como la teoría de cuerdas. Porque a continuación podemos preguntarnos qué significa que una cuerda se propague en una variedad curva. Uno encuentra que ahora los datos son una especie de análogo dimensional superior de los datos anteriores, que uno podría llamar un triple espectral 2 , comúnmente modelado por estructuras como álgebras de operadores de vértice. Así que ahora para la cuerda cuántica uno puede hacer la misma pregunta de ingeniería inversa que para la partícula cuántica: dada alguna mecánica cuántica de cuerdas con tal espectro de energía y tal o cual álgebra de observables, ¿podemos reconstruir el espacio-tiempo curvo? que la cadena debe estar propagándose?

De hecho, uno puede, precisamente hasta las famosas "dualidades de cuerdas". Así es como la teoría de cuerdas se conecta con la fenomenología, al inferir de la mecánica cuántica de cuerdas la estructura de fondo efectiva a través de la cual debe propagarse.

Por alguna razón, la estrecha similitud entre la descripción de la geometría espectral ("no conmutativa") de Connes de las partículas cuánticas en el espacio-tiempo curvo y la teoría de cuerdas perturbadora no se anuncia ampliamente. Se volvió particularmente sorprendente cuando en 2006 Connes y Barret notaron que la única forma de obtener la estructura quiral del fermión correcta en un "modelo estándar espectral" construido de esta manera es considerar una compactación KK no conmutativa donde el espacio de la fibra tiene K-teórico. dimensión igual a 6 (ver las referencias comentadas aquí ). Esta es, por supuesto, la misma respuesta que en la teoría de cuerdas, aunque aquí se deriva de diferentes suposiciones.

En cualquier caso, describir la geometría curva en términos de la mecánica cuántica de partículas (y cuerdas y branas, etc.) que se propagan en ella es un tema profundo en matemáticas y física.

Pero dado que la pregunta parece ser realmente sobre en qué espacios las funciones de onda son secciones de algún paquete, uno debería mirar un poco más: en general, una función de onda es una sección polarizada de un paquete de líneas precuánticas sobre un espacio de fase covariante reducido . Ahora, los espacios de fase en la mecánica cuántica y en la teoría cuántica de campos en su mayoría siempre resultan como paquetes cotangentes.$T^\ast X$del espacio de configuración. Pero es importante recordar que, en general, hay simetrías (de calibre) en el sistema, y ​​que el espacio de fase real es el cociente de este paquete cotangente por estas simetrías. En general, esto conduce a espacios de fase geométrica y topológicamente no triviales.

En particular, el espacio de fase de los grados de libertad "internos" de las partículas cuánticas es genéricamente curvo y compacto . El ejemplo más básico es el espacio de fase para "rotores" y "espinores", por lo tanto, para el grado de libertad de espín de los fermiones. Estas son las 2 esferas (con su métrica curva redonda). Consulte la cuantización geométrica de las 2 esferas para obtener más información.

O si la partícula tiene "carga no abeliana" (por ejemplo, si es un quark), entonces los grados de libertad internos están dados por un espacio de fase que es una órbita coadjunta del grupo de Lie de calibre dado. Los detalles sobre estos espacios de fase curvos compactos se encuentran en el método nLab en órbita .

En conclusión, los espacios objetivo curvos y los espacios de fase son más la regla que la excepción, y su cuantización se conecta con problemas importantes y profundos no solo en física sino también en geometría y matemáticas en general.

Suponga que desea hablar sobre la "versión mecánica cuántica" de un cuerpo rígido giratorio que no "va a ninguna parte" (clásicamente, el centro de masa es estacionario). Entonces probablemente consideraríamos estados en L^2(SO(3,R)).

Una regla general es que si tiene un sistema descrito clásicamente y quiere saber cuál es la "versión mecánica cuántica" del mismo, deje que M sea la variedad de configuración (es decir, esa variedad que describe la "posición" del sistema clásico y cuyo fibrado cotangente es la variedad del espacio de fase) y tomas tus estados en L^2(M).

Para los propósitos de la física real, esto no siempre es algo útil. Después de todo, los sistemas clásicos (probablemente) no existen, por lo que no hay necesariamente un valor fundamental en saber cómo pasar de "clásico a cuántico". Sin embargo, puede decir algo muy interesante sobre cómo surge el límite clásico y sobre la naturaleza de la decoherencia cuántica.