Intuición sobre los mapas de momento

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Intuición sobre los mapas de momento

Oro

Estoy estudiando Mecánica Clásica y hay un objeto que apareció recientemente en el libro del que no puedo obtener una intuición física. La definición matemática es la siguiente:

Dejar $M$ ser una variedad suave junto con una forma simplética $\omega$ y supongamos $G$ actúa a la izquierda en $M$ tal que la acción conserva la forma simplética. Esto significa que si $\delta_{g} : M\to M$ es el difeomorfismo asociado a $g\in G$ , entonces

d_{gramo}^{*} ω = ω

$\delta_g^\ast \omega=\omega$

Ahora deja $\mathfrak{g}$ sea el álgebra de mentira de $G$ y $\langle,\rangle : \mathfrak{g}^\ast\times \mathfrak{g}\to \mathbb{R}$ el maridaje

⟨ φ, A ⟩ = φ (A),

$\langle \varphi, A\rangle = \varphi(A),$

si denotamos $X^A$ el campo vectorial en $M$ asociado a $A$ entonces uno puede ver que $\eta = X^A\lrcorner \ \omega$ es cerrado porque la acción conserva $\omega$ . En ese caso, definimos un mapa de cantidad de movimiento como una función $\mu:M\to \mathfrak{g}^\ast$ tal que

d (⟨ m, A ⟩) = X^{A} ⌟ ω .

$d(\langle \mu,A\rangle) = X^A \lrcorner \ \omega.$

Ahora bien, para la Mecánica Clásica nos interesa el caso $M = T^\ast Q$ dónde $Q$ es la variedad de configuración.

En ese caso, supongo que debería haber una buena intuición sobre qué son realmente los mapas de impulso y qué representan. En verdad, incluso el nombre nos invita a pensar que hay alguna implicación importante en la Física a partir de esta definición anterior.

En ese caso, en Mecánica Clásica, ¿qué son realmente los mapas de momento definidos arriba? ¿Qué representan y qué es una buena intuición sobre ellos?

yuhang chen

Encontré esta pregunta al buscar referencias en mapas de momentos. No estoy seguro si es demasiado tarde para dejar un comentario ahora, pero ¿puede compartir el título del libro?

Oro

@YuhangChen, el libro que estaba estudiando en el momento en que hice esta pregunta era "Mecánica geométrica" de Darryl D. Holm ( amazon.com/-/pt/dp/1848167741/… ). También había algunas notas específicas sobre los mapas de impulso, pero desafortunadamente no los encontré para compartir. ¡Espero que esto ayude!

yuhang chen

¡Gracias por su respuesta inmediata (considerando que la pregunta se hizo hace 4 años)! También encontré un capítulo completo (más de 100 páginas) de mapas de momentos en el libro "Técnicas simplécticas en física" de Guillemin y Sternberg. Supongo que su libro debería ser una mejor opción.

Respuestas (1)

Intuición sobre los mapas de momento

Encontré esta pregunta al buscar referencias en mapas de momentos. No estoy seguro si es demasiado tarde para dejar un comentario ahora, pero ¿puede compartir el título del libro?
@YuhangChen, el libro que estaba estudiando en el momento en que hice esta pregunta era "Mecánica geométrica" de Darryl D. Holm ( amazon.com/-/pt/dp/1848167741/… ). También había algunas notas específicas sobre los mapas de impulso, pero desafortunadamente no los encontré para compartir. ¡Espero que esto ayude!
¡Gracias por su respuesta inmediata (considerando que la pregunta se hizo hace 4 años)! También encontré un capítulo completo (más de 100 páginas) de mapas de momentos en el libro "Técnicas simplécticas en física" de Guillemin y Sternberg. Supongo que su libro debería ser una mejor opción.

una mente curiosa · Answer 1

El mapa de momento equivariante tiene varias aplicaciones. Su significado es que proporciona una codificación de cómo el grupo de Lie $G$ actúa en el espacio de fase y le brinda una forma de encontrar los observables correspondientes a las cantidades conservadas/generadores de la simetría $G$ : También define el proceso de reducción simpléctica a un espacio de fases reducido .

Dado que

d (⟨ m (\dot{}), gramo ⟩) = ω (ρ (gramo), \dot{})

$\mathrm{d}(\langle\mu(\dot{}),g\rangle) = \omega(\rho(g),\dot{})$ dónde

ρ (g)

$\rho(g)$ denota el campo vectorial (matar) asociado a la acción infinitesimal de

g

$\mathfrak{g}$ , la forma 1

ω (ρ (g), \dot{})

$\omega(\rho(g),\dot{})$ está cerrado debido a

d^{2} = 0

$\mathrm{d}^2 = 0$ . Si se supone que la acción del grupo es hamiltoniana , entonces se supone que la forma también es exacta y, por lo tanto, hay una función uniforme.

f_{g}

$f_g$ con

d f_{g} = ω (ρ (g), \dot{})

$\mathrm{d}f_g = \omega(\rho(g),\dot{})$ . También se supone que una acción hamiltoniana da un homomorfismo de álgebra de Lie

gramo \to C^{\infty} (METRO), gramo \mapsto F_{gramo}

$\mathfrak{g} \to C^\infty(M), g \mapsto f_g$ y su imagen son precisamente los generadores de la simetría en el sentido clásico. De esta manera, el mapa de momentos proporciona una descripción libre de coordenadas de cómo el álgebra de Lie de la simetría se integra en el álgebra de Poisson completa de observables. Por ejemplo, para el grupo de rotación, la imagen es el álgebra de Lie del momento angular (¡de ahí el nombre!).

Ahora se puede usar la simetría para reducir el espacio de fase a una superficie en la que las cantidades conservadas son constantes. Esto se hace eligiendo cualquier valor regular de $\mu$ y tomando su preimagen, luego zambulléndose en la acción grupal. Esta superficie es invariante bajo el flujo hamiltoniano y adquiere su propia dinámica, lo que nos permite descartar el resto del espacio de fase si solo nos interesa este valor particular para las cargas que generan la simetría.

El mapa de momentos te dice cómo encontrar "superficies con cargas constantes" en el espacio de fase total.

De particular importancia es el caso de un grupo de calibre que representa la dinámica restringida, donde la elección correcta está naturalmente prescrita por el hecho de que los generadores desaparecen en la superficie restringida, por lo que la reducción simpléctica correcta es $\mu^{-1}(0)/G$ . Esto se puede usar para dar una explicación de alto nivel de cómo la cohomología BRST obtiene el álgebra correcta de observables invariantes de calibre, vea esta respuesta mía .

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yuhang chen

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yuhang chen

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