Vectores propios de pxpxp_x en un dominio particular

Definición de la$p_x$operador para el problema de la partícula en un pozo infinito. En el libro de Capri sobre mecánica cuántica, el dominio del operador viene dado por,

$$p = -i\hbar \frac{\partial }{\partial x} \\ D_p = \big\{f(x),f'(x)\in \mathrm{L_2}(0,L) , f(0) = f(L) = 0 \big\}$$ Luego más adelante va a definir, $p^{\dagger}$que tiene un dominio mayor (¿Por qué?) o con condiciones bastante más generales sobre las funciones dadas por, $$f(0) = \text e^{i\theta}f(L)$$ para el dominio $D_{p^{\dagger}}$.

Mi pregunta se refiere al hecho de si elegí el dominio$D_p$(por el momento considerando que$p$no es autoadjunto, es decir$D_p \ne D_{p^{\dagger}}$sino más bien$D_p \subset D_{p^{\dagger}}$), entonces no habrá funciones propias para$p$operador como tal, ya que si lo hubiera tiene que ser trivialmente cero. Ya que para una función propia$A \text e^{ikx}$ser cero en$x=0$,$A$tiene que ser cero.

Entonces, ¿cómo abordar este hecho de que no hay una función propia para$p$operador en el caso cuando no es auto-adjunto?

¿También hay un teorema sobre la existencia de vectores propios para un operador?