¿Cómo usan los físicos las soluciones de la ecuación de Yang-Baxter?

ah ¡Finalmente un tema del que sé algo!

Hay muchos lugares en la física donde aparece la ecuación YB. Puedo pensar en dos en este momento.

una. Modelos de celosía con solución exacta

b. Computación cuántica (QC)

Es la segunda aplicación que me parece más interesante, así que me centraré en ella.

La referencia canónica (en mi humilde opinión) sobre el vínculo entre la ecuación YB y QC es el maravilloso artículo de Lomonaco y Kauffmann (LK04) http://arxiv.org/abs/quant-ph/0401090

En la computación cuántica topológica, la esperanza es poder realizar operaciones unitarias en qubits moviéndolos entre sí. Una arena típica es un gas de electrones 2D, donde nuestros qubits son las cuasipartículas del sistema. En 2D, cuando intercambiamos dos objetos, obtenemos un grupo de simetría más rico que en 3D, donde obtenemos el grupo de permutación cuyos valores propios$\pm 1$corresponden al caso de los bosones y fermiones respectivamente. Sin embargo, en 2D, este grupo de simetría se amplía al grupo trenzado: uno puede intercambiar dos objetos moviéndolos de manera que sus líneas de mundo se "trencen" entre sí. Este trenzado no se puede eliminar deformando las trayectorias, porque no tenemos la tercera dimensión para utilizar.

De todos modos, para acortar una larga historia, el YBE se puede mostrar esquemáticamente como una relación entre tres partículas en intercambio (ver fig. 1 en la página 8 de la referencia anterior). Lo que luego muestra LK04 es que las soluciones de YBE son matrices unitarias que son universales para el cálculo cuántico. De la misma manera que cualquier circuito binario clásico puede construirse a partir de puertas NAND, cualquier circuito cuántico puede construirse a partir de un conjunto de puertas cuánticas universales.

En física matemática, usas soluciones de la ecuación de Yang Baxter en muchos contextos. En especial en la integrabilidad cuántica se utilizan soluciones de la ecuación de Yang Baxter para obtener las relaciones de conmutación a partir del álgebra de Yang Baxter.$R_{12}(u,v)T^{1}(u)T^{2}(v) = T^{2}(v)T^{1}(u)R_{12}(u,v)$puede incluir además términos de contorno. los$R$en el contexto de la mecánica estadística (redes bidimensionales) se relaciona con los pesos de Boltzmann, el$T's$están asociados con la matriz monodrómica, que son los productos de los locales$R$para los modelos fundamentales (modelos fundamentales: que los operadores laxos se expresan en términos de$R$) esta primera parte es el método de dispersión inversa cuántica la segunda parte que deseamos diagonalizar$[\tau(u),\tau(v)] = 0$($\tau$es la matriz de transferencia) así usamos la primera parte para obtener los estados de Bethe y las ecuaciones de Bethe esta es la Bethe Ansatz Algebraica (Lo importante aquí es la existencia de algo llamado pseudo-vacío), la más fundamental es la Yang Baxter ecuación es la esencia. También puede tener modelos de campo integrables cuánticos 1+1 y aplicar dichas técnicas. Después del bethe ansatz algebraico hay que calcular el producto interno y las funciones de correlación, esta es la parte que tiene más problemas abiertos. Otro método diferente al algebraico bethe ansatz es el SOV-Sklyanin, que es un método aplicado tanto al caso cuántico como al clásico, surge de la separación de variables en la mecánica clásica, Sklyanin extiende esto al hacer que el método sea más general,

Con respecto a los experimentos, las técnicas experimentales de atrapamiento y enfriamiento de átomos en 1D han proporcionado la realización de modelos exactamente resueltos en el laboratorio.

Lieb-Liniger Bose gas:

T. Kinoshita et al Science 2004, PRL 2005, Nature 2006; A. van Amerongen et al. PRL2008; T. Kitagawa y otros PRL 2010; J. Armijo et al PRL 2010

Gas Super Tonks-Girardeau:

E. Haller et al Ciencia 2009

Espín-1/2 gas Fermi degenerado:

Y. Liao et al Naturaleza 2010; S. Jochim et al, Science 2011,PRL 2012: Preparación determinista del sistema de pocos fermiones; 2 fermiones en una trampa armónica 1D

Gas spinor Bose de dos componentes: J. van Druten et al arXiv:1010.4545

Quenches es un tema muy actual en esta investigación sigue el día 26 de julio, este tema permitirá más experimentos (no sé esto). http://arxiv.org/abs/1407.7167

En el contexto clásico, las soluciones de la ecuación clásica de Yang Baxter sirven para calcular las álgebras de Poisson$\lbrace T^{1}(u),T^{2}(v)\rbrace = [r_{12}(u,v),T^{1}(u)T^{2}(v)]$(hay otros según el modelo y las condiciones de contorno que tenga) de esto tiene una conexión con el formalismo hamiltoniano.