Estoy leyendo el artículo de Witten sobre la supersimetría y la teoría de Morse y estoy confundido acerca de los detalles del cálculo de instantón que usa para definir un complejo de Morse (a partir de la página 11 del pdf).
Witten escribe el lagrangiano supersimétrico relevante y luego establece
Las soluciones instantáneas o caminos de efecto túnel en esta teoría serían los extremos de este Lagrangiano, escrito con una métrica euclidiana y con los fermiones descartados.
Entiendo la parte sobre la métrica euclidiana, pero ¿por qué descartar los fermiones? Después de encontrar las soluciones instantáneas (que son solo caminos de descenso más pronunciado con respecto a la función de Morse. Estamos interesados en los caminos que conectan los puntos críticos), luego procede a afirmar que para las fluctuaciones cuánticas alrededor de la solución clásica,
Los valores propios distintos de cero se cancelan entre bosones y fermiones, debido a la supersimetría. Nos quedamos con los valores propios cero de los fermiones. Para una trayectoria que va de A a B, el índice del operador de Dirac es igual al índice de Morse de A menos el índice de Morse de B.
¿Cómo funciona esta cancelación entre fermiones y bosones? ¿Qué pasa con los valores propios cero de los bosones? El operador de Dirac aquí es solo una derivación exterior (o más precisamente, la versión perturbada del mismo), ¿correcto? Pero, ¿qué significa "el operador de Dirac para una trayectoria de A a B"?
Una gran parte del problema es que casi todas las referencias que pude encontrar que conectan Instantons y la supersimetría tienen que ver con la teoría de Yang-Mills, o la supersimetría extendida en entornos mucho más complicados (mi experiencia en QFT es bastante limitada). Incluso entonces, nunca he encontrado nada que sugiera "descartar los fermiones" en el cálculo del instante. Casi entiendo el resto del documento, pero esta parte me deja desconcertado.
Permítanme referirles primero a tres referencias que tratan pedagógicamente a los instantones en la mecánica cuántica: 1) las notas de clase de Riccardo Rattazzi que tratan a los instantones en la mecánica cuántica no supersimétrica. En estas notas se elabora con gran detalle el modelo del oscilador anarmónico. 2) Notas de clase de Philip Argyres que tratan los instantones en la mecánica cuántica supersimétrica. El modelo considerado en estas notas de clase es una versión unidimensional simplificada del modelo de Witten en espacio plano 3) Artículo original de Salomonson y van-Holten , donde elaboran en detalle el mismo modelo tratado por Argyres. Este artículo se puede utilizar para llenar los vacíos en las notas de Argyres.
Con respecto a la primera pregunta:
Primero, uno debe notar que si tomamos una solución clásica en la que las coordenadas fermiónicas no se desvanecen, entonces tanto las coordenadas bosónicas como las fermiónicas adquieren componentes de Grassmann. La coordenada bosónica se convierte en un número par de Grassmann y la fermiónica en uno impar. La acción mismo se convierte en un número par de Grassmann. Esto plantea una dificultad en la interpretación de como una tasa de tunelización entre el vacío degenerado.
Salomonson y van-Holten (como Witten) descartan los fermiones (es decir, sustituyen el cero por el "campo clásico" del fermión). Justifican esta sustitución por el requisito de mantener la acción finita (que es un requisito crucial porque es proporcional a la tasa de transición entre el vacío). Sin embargo, Akulov y Duplijencuentre la solución general para el mismo modelo con una coordenada fermiónica que no desaparece. Encuentran que la contribución del número de Grassmann a la acción desaparece de manera idéntica y la acción es igual a la acción clásica con los fermiones descartados. Esto justifica en parte el descarte de los fermiones (se dará una mayor justificación en la discusión del modo cero fermiónico). Además, Akulov y Duplij encuentran que, a diferencia de la acción, la dependencia del número de Grassmann generalmente no desaparece en la carga topológica del instante; esta contribución se desvanece exactamente solo para potenciales que rompen la supersimetría, lo que recuerda la desaparición del índice de Witten cuando la supersimetría se rompe espontáneamente.
El tratamiento de los modos cero:
Los determinantes de fermiones y bosones excluyendo los modos cero se cancelan exactamente. Como se explica en Argyres, los modos cero en el sector fermiónico hacen que la función de partición desaparezca. Sin embargo, la corrección de la energía del estado fundamental implica la inserción de un generador de supersimetría (ecuación 4.16 en Argyres), esta inserción es lo que se necesita para hacer que la integral de trayectoria fermiónica no se desvanezca, ya que para la variable de Grassmann mientras .
Ahora bien, si adoptamos el método de Akulov y Duplij, la contribución del campo fermiónico clásico a la integral de trayectoria se desvanece porque como ya se mencionó, la acción no depende de las variables fermiónicas clásicas, por lo que no hay inserción en el componente clásico, por lo que su contribución se desvanece.
El modo cero bosónico corresponde a la coordenada colectiva del instantón (espacio de módulos). Geométricamente, esta coordenada es el tiempo central de la clásica solución de torcedura; y la solución satisface las ecuaciones de movimiento para todos valores. La evaluación correcta de la integral de trayectoria requiere realizar la integración bosónica en los modos distintos de cero que es finito, luego integrar sobre el espacio de módulos que implica la integración sobre .
La integral de trayectoria, incluso en este caso simple, es bastante engorrosa y su cálculo explícito se da en Salomonson y van-Holten.
Para obtener un cálculo riguroso y detallado de la integral de ruta del instantón para el modelo de Witten, consulte el artículo de Alice Rogers .
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