Dependencia temporal de una función de un operador

Supongamos que sé que la evolución temporal de un operador está dada por$\dot{\hat{O}} = \frac{i}{\hbar}[\hat{H}(t), \hat{O}(t)]$. Ahora quiero ver una función.$\hat{f}(\hat{O}$, y quiero saber la evolución temporal de los "valores" de esta función. Supongo que puedo ampliar$\hat{f}$en una serie de Taylor: Desde$\hat{O}$tiene una evolución temporal unitaria$U$, Puedo escribir:

$$\hat{f}(\hat{O}(t)) = \Sigma_i c_i \hat{O}^i(t) = \\ \Sigma_i c_i (\hat{U}_{t, t_0} \hat{O}(t_0) \hat{U}_{t_0, t})^i = \\ \Sigma_i c_i \hat{U}_{t, t_0} \hat{O}(t_0)^i \hat{U}_{t_0, t} = \\ \hat{U}_{t, t_0} \hat{f}(\hat{O}(t_0)) \hat{U}_{t_0, t}$$ Luego, calcular la derivada del tiempo producirá: $$\frac{d}{dt} \hat{f}(\hat{O}(t)) = \frac{i}{\hbar}[\hat{H}, \hat{f}(\hat{O}(t))]$$

Sin embargo, no llego a este mismo resultado si trato de calcular la derivada directamente:

$$\frac{d}{dt} \hat{f}(\hat{O}(t)) = \Sigma_{j=1} c_j j \hat{O}^{j-1}(t) \dot{\hat{O}}\\ = \Sigma_{j=1} c_j j \hat{O}^{j-1}(t) \frac{i}{\hbar}[\hat{H}(t), \hat{O}(t)]$$ Para llegar al mismo resultado, tendría que permutar el hamiltoniano $\hat{H}$a través de todo el producto $(\hat{O}(t))^{j-1}$. Estoy atorado aqui. ¿Estoy cometiendo un error en alguna parte?