¿Operador de ordenación temporal que actúa sobre exponencial?

Question

¿Operador de ordenación temporal que actúa sobre exponencial?

Física
operadores
evolución del tiempo
mecánica cuántica

Espaguetificación cuántica

Al investigar la teoría cuántica de campos, me encontré con el operador de ordenamiento temporal, $T$ , definido de tal manera que (ignorando el signo asociado con los operadores de fermiones):

T (a_{1} (t_{1}) . . . a_{norte} (t_{norte})) = a_{π (1)} (t_{π (1)}) . . . a_{π (norte)} (t_{π (norte)})

$T(a_1(t_1)...a_n(t_n))=a_{\pi(1)}(t_{\pi(1)})...a_{\pi(n)}(t_{\pi(n)})$ dónde

π

$\pi$ es una permutación de

1, 2, . . ., n

$1,2,...,n$ tal que

t_{π (1)} > t_{π (2)} > . . . > t_{π (n)}

$t_{\pi(1)} \gt t_{\pi(2)}\gt...\gt t_{\pi(n)}$ . Esto está bien y entiendo cómo funciona. Pero también he visto expresiones como:

T (Exp (- i \int_{0}^{t} d t^{'} V_{I} (t^{'})))

$T \left( \exp \left( -i \int^t_0 dt' V_I(t') \right) \right)$ ¿Cómo se define que el operador de ordenación temporal funcione en estos casos? Ya que en el primero su dependencia temporal es explícita y en el segundo parece que todos los operadores serán evaluados al mismo tiempo

t

$t$ .

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/45455/2451 y enlaces allí.

qmecanico

Hola @Espaguetificación cuántica. Eliminé su primera subpregunta (v1), cf. esta meta publicación.

Respuestas (1)

¿Operador de ordenación temporal que actúa sobre exponencial?

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/45455/2451 y enlaces allí.
Hola @Espaguetificación cuántica. Eliminé su primera subpregunta (v1), cf. esta meta publicación.

intercambio · Answer 1

En el caso que describe, el operador de ordenamiento temporal $\mathbb{T}$ se define para trabajar en la serie de Taylor definida por la exponencial. Concretamente, esto significa

T Exp (- i \int_{t_{I}}^{t_{F}} d t V (t)) = T (1 + (- i) \int_{t_{I}}^{t_{F}} d t V (t) + \frac{(- i)^{2}}{2!} \int_{t_{I}}^{t_{F}} d t_{1} V (t_{1}) \int_{t_{I}}^{t_{F}} d t_{2} V (t_{2}) + \dots)

$\begin{equation} \mathbb{T}~\exp\left(-i\int_{t_I}^{t_F} dt~V(t)\right) = \mathbb{T}~\left(1 + (-i)\int_{t_I}^{t_F} dt~V(t)+ \frac{(-i)^2}{2!}\int_{t_I}^{t_F} dt_1~V(t_1)\int_{t_I}^{t_F} dt_2~V(t_2)+\cdots \right) \end{equation}$ Ahora, por ejemplo, el término de orden n es igual a

\begin{aligned} T \frac{(- i)^{norte}}{norte!} \int_{t_{I}}^{t_{F}} d t_{1} \int_{t_{I}}^{t_{F}} d t_{2} \dots \int_{t_{I}}^{t_{F}} d t_{norte} V (t_{1}) \dots V (t_{norte}) \\ = \frac{(- i)^{norte}}{norte!} \int_{t_{I}}^{t_{F}} d t_{1} \int_{t_{I}}^{t_{F}} d t_{2} \dots \int_{t_{I}}^{t_{F}} d t_{norte} T (V (t_{1}) \dots V (t_{norte})) \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} &\mathbb{T}~\frac{(-i)^N}{N!}\int_{t_I}^{t_F} dt_1 \int_{t_I}^{t_F} dt_2\cdots\int_{t_I}^{t_F}dt_N~V(t_1)\cdots V(t_N)\\ &=\frac{(-i)^N}{N!}\int_{t_I}^{t_F} dt_1 \int_{t_I}^{t_F} dt_2\cdots\int_{t_I}^{t_F}dt_N~\mathbb{T}(V(t_1)\cdots V(t_N)) \end{split} \end{equation}$ y de aquí en adelante puedes usar la ecuación que describiste para entender. Entonces

T

$\mathbb{T}$ actúa exactamente como usted lo esperaría. Lo que probablemente te perdiste al principio es que la serie de Taylor conduce a un producto de integrales, cada una con su propio nombre de integración porque

{(\int_{t_{I}}^{t_{F}} d t_{1} V (t_{1}))}^{2} = \int_{t_{I}}^{t_{F}} d t_{1} V (t_{1}) \int_{t_{I}}^{t_{F}} d t_{2} V (t_{2}) = \int_{t_{I}}^{t_{F}} d t_{1} \int_{t_{I}}^{t_{F}} d t_{2} V (t_{1}) V (t_{2})

$\left(\int_{t_I}^{t_F} dt_1~V(t_1)\right)^2=\int_{t_I}^{t_F} dt_1~V(t_1)\int_{t_I}^{t_F} dt_2~V(t_2)=\int_{t_I}^{t_F} dt_1\int_{t_I}^{t_F} dt_2~V(t_1)V(t_2)$ . Por lo tanto, la expresión anterior es significativa.

¿Operador de ordenación temporal que actúa sobre exponencial?

Espaguetificación cuántica

qmecanico

qmecanico

Respuestas (1)

intercambio

¿Por qué la evolución temporal es unitaria? - La versión de la imagen de Heisenberg

Dependencia temporal de una función de un operador

¿Es posible la evolución continua de un estado propio del operador OOO a otro estado propio OOO?

¿Cómo es que hay operadores de imágenes de Schrödinger con dependencia temporal explícita?

Evolución temporal con un hamiltoniano dependiente del tiempo [cerrado]

Operador de evolución para hamiltoniano dependiente del tiempo

Operadores Mecánicos Cuánticos en el argumento de una exponencial

La identidad de orden NNN de la exponencial ordenada en el tiempo en Mecánica Cuántica

Solución de la Ecuación de Schrödinger Dependiente del Tiempo para Operador Unitario

¿Qué derivada con respecto al tiempo es cuál en la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica?