Demostrar que el hamiltoniano dependiente del tiempo es hermitiano a partir de la unitaridad del operador de evolución temporal

Question

Demostrar que el hamiltoniano dependiente del tiempo es hermitiano a partir de la unitaridad del operador de evolución temporal

phchen

Cuando resolvemos la ecuación de Schrödinger para el operador de evolución temporal:

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} tu (t, t_{0}) = H tu (t, t_{0}),

$\begin{equation} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}U(t,t_{0})=HU(t,t_{0}), \end{equation}$

Tenemos tres casos a tratar por separado:

Caso 1. El operador hamiltoniano $H$ es independiente del tiempo:

tu (t, t_{0}) = Exp [\frac{- i H (t - t_{0})}{ℏ}];

$\begin{equation} U(t,t_{0})=\exp\left[\frac{-iH(t-t_{0})}{\hbar}\right]; \end{equation}$

Caso 2. El operador hamiltoniano $H$ depende del tiempo pero $H's$ en diferentes momentos de viaje:

tu (t, t_{0}) = Exp [- \frac{i}{ℏ} \int_{t_{0}}^{t} d t^{^{'}} H (t^{^{'}})];

$\begin{equation} U(t,t_{0})=\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\int_{t_{0}}^{t}dt^{'}H\left(t^{'}\right)\right]; \end{equation}$

Caso 3. El operador hamiltoniano $H$ es dependiente del tiempo y $H's$ en diferentes momentos no conmutan:

\begin{array}{rcl} tu (t, t_{0}) & = & 1 + \overset{\infty}{\sum_{norte = 1}} [{(\frac{- i}{ℏ})}^{norte} \int_{t_{0}}^{t} d t_{1} \int_{t_{0}}^{t_{1}} d t_{2} . . . \int_{t_{0}}^{t_{norte - 1}} d t_{norte} H (t_{1}) H (t_{2}) . . . H (t_{norte})] \\ = & T {Exp [- i \int_{t_{0}}^{t} d t^{^{'}} H (t^{^{'}})]} \end{array}

$\begin{eqnarray} U(t,t_{0}) & = & 1+\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}\left[\left(\frac{-i}{\hbar}\right)^{n}\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}\int_{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}...\int_{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}H(t_{1})H(t_{2})...H(t_{n})\right]\\ & = & \mathcal{T}\left\{ \exp\left[-i\int_{t_{0}}^{t}dt^{'}H(t^{'})\right]\right\} \end{eqnarray}$

Si consideramos el caso 1, la siguiente afirmación es fácil de probar:

El operador hamiltoniano $H$ es hermítica si y solo si el operador de evolución temporal $U$ es unitario.

Pero, ¿cómo probar esta afirmación para casos hamiltonianos dependientes del tiempo?

Respuestas (3)

Demostrar que el hamiltoniano dependiente del tiempo es hermitiano a partir de la unitaridad del operador de evolución temporal

usuario_35 · Answer 1

Puede probar esto sin mirar ninguno de los casos específicos haciendo una perturbación de primer orden de la ecuación diferencial que define el operador de evolución temporal.

empezamos con

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} tu (t, t_{0}) = H tu (t, t_{0}) .

$i \hbar \frac{\partial}{\partial t} U(t, t_0) = H U(t, t_0).$

O, reorganizando algunos términos,

\frac{\partial}{\partial t} tu (t, t_{0}) = - \frac{i}{ℏ} H tu (t, t_{0}) .

$\frac{\partial}{\partial t} U(t, t_0) = - \frac{i}{\hbar} H U(t, t_0).$

en un momento $t + \delta t$ , la ecuación anterior nos dice que a primer orden en $\delta t$ tenemos

tu (t + d t, t_{0}) = tu (t, t_{0}) - \frac{i}{ℏ} H tu (t, t_{0}) d t .

$U(t + \delta t, t_0) = U(t, t_0) - \frac{i}{\hbar} H U(t, t_0) \delta t.$

Si $U$ es unitario, entonces tenemos

I = {tu}^{†} tu (t + d t, t_{0}) = [{tu}^{†} (t, t_{0}) + \frac{i}{ℏ} {tu}^{†} (t, t_{0}) H^{†} d t] [tu (t, t_{0}) - \frac{i}{ℏ} H tu (t, t_{0}) d t] .

$I = U^{\dagger} U (t + \delta t, t_0) = \left[ U^{\dagger}(t, t_0) + \frac{i}{\hbar} U^{\dagger}(t, t_0) H^{\dagger} \delta t\right] \left[ U(t, t_0) - \frac{i}{\hbar} H U(t, t_0) \delta t \right].$

Ampliando esto y manteniendo solo los términos de primer orden en $\delta t$ rendimientos

I = {tu}^{†} tu (t, t_{0}) - \frac{i}{ℏ} {tu}^{†} (t, t_{0}) H tu (t, t_{0}) d t + \frac{i}{ℏ} {tu}^{†} (t, t_{0}) H^{†} tu (t, t_{0}) d t .

$I = U^{\dagger} U (t, t_0) - \frac{i}{\hbar} U^{\dagger} (t, t_0) H U (t, t_0) \delta t + \frac{i}{\hbar} U^{\dagger}(t, t_0) H^{\dagger} U (t, t_0) \delta t.$

Ya que exigimos que $U$ es unitario para todos los tiempos, también deberíamos tener $U^{\dagger} U (t, t_0) = I.$ Sustituyendo esto y cancelando $I$ de ambos lados de la ecuación se obtiene

0 = \frac{i}{ℏ} {tu}^{†} (t, t_{0}) (H^{†} - H) tu (t, t_{0}) d t .

$0 = \frac{i}{\hbar} U^{\dagger}(t, t_0) \left(H^{\dagger} - H \right) U(t, t_0) \delta t.$

Por lo tanto, debemos tener $H^{\dagger} = H$ . Así que hemos demostrado que si $U$ es unitario, entonces $H$ debe ser hermitiano.

Para la otra dirección, volvemos a nuestra expansión de primer orden:

{tu}^{†} tu (t + d t, t_{0}) = {tu}^{†} tu (t, t_{0}) - \frac{i}{ℏ} {tu}^{†} (t, t_{0}) H tu (t, t_{0}) d t + \frac{i}{ℏ} {tu}^{†} (t, t_{0}) H^{†} tu (t, t_{0}) d t .

$U^{\dagger} U (t + \delta t, t_0) = U^{\dagger} U (t, t_0) - \frac{i}{\hbar} U^{\dagger} (t, t_0) H U (t, t_0) \delta t + \frac{i}{\hbar} U^{\dagger}(t, t_0) H^{\dagger} U (t, t_0) \delta t.$

Si $H$ es hermitiano, entonces

{tu}^{†} tu (t + d t, t_{0}) = {tu}^{†} tu (t, t_{0}) .

$U^{\dagger} U (t + \delta t, t_0) = U^{\dagger} U(t, t_0).$

Entonces $U^{\dagger} U(t, t_0)$ es constante para todos $t$ . Desde $U(t_0, t_0)$ es la identidad, debemos tener $U^{\dagger} U(t, t_0) = I$ para todos $t$ . Hemos probado así que si $H$ es hermitiano, entonces $U$ debe ser unitario.

higgsss · Answer 2

Hermiticidad de $H$ para los tres casos combinados se puede mostrar directamente a partir de la ecuación de Schrödinger. Para hacer esto, primero tome la derivada de la relación de unitaridad $U(t,t_{0}) U^{\dagger}(t,t_{0}) = I$ con respecto a $t$ , lo que da

tu (t, t_{0}) [\frac{\partial}{\partial t} {tu}^{†} (t, t_{0})] = - [\frac{\partial}{\partial t} tu (t, t_{0})] {tu}^{†} (t, t_{0}) .

$\begin{equation} U(t,t_{0}) \left[\frac{\partial}{\partial t}U^{\dagger}(t,t_{0}) \right] = -\left[\frac{\partial}{\partial t}U(t,t_{0}) \right]U^{\dagger}(t,t_{0}). \end{equation}$ Luego, considere el conjugado hermitiano de

H = i ℏ [\frac{\partial}{\partial t} tu (t, t_{0})] {tu}^{†} (t, t_{0}),

$\begin{equation} H = i\hbar \left[\frac{\partial}{\partial t}U(t,t_{0}) \right] U^{\dagger}(t,t_{0}), \end{equation}$ que lee

\begin{aligned} H^{†} & = - i ℏ tu (t, t_{0}) [\frac{\partial}{\partial t} {tu}^{†} (t, t_{0})] \\ = i ℏ [\frac{\partial}{\partial t} tu (t, t_{0})] {tu}^{†} (t, t_{0}) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} H^{\dagger} &= -i\hbar\, U(t,t_{0})\left[\frac{\partial}{\partial t}U^{\dagger}(t,t_{0}) \right] \\ &= i\hbar\, \left[\frac{\partial}{\partial t}U(t,t_{0}) \right]U^{\dagger}(t,t_{0}). \end{split} \end{equation}$ Por lo tanto,

H = H^{†}

$H = H^\dagger$ , y por lo tanto

H

$H$ es hermitiano.

yuggib · Answer 3

Pienso que la unitaridad de todos los $\bigl(U(t,t_0)\bigr)_{(t,t_0)\in\mathbb{R}^2}$ no te da tanto. La unitaridad está realmente codificada en la propiedad de grupo (de dos parámetros), es decir $U(t,t_0)U(t_0,t_1)=U(t,t_1)$ para cualquier $t,t_0,t_1\in\mathbb{R}$ (con $U(t,t)=1$ para cualquier $t$ ). supongamos que $U(t,t_0)$ es diferenciable en $t$ y $t_0$ en dominios adecuados para cualquier $t,t_0$ (los dominios pueden depender del tiempo); y que derivando obtenemos las ecuaciones

\begin{aligned} i \partial_{t} tu (t, s) & = H (t) tu (t, s) \\ i \partial_{s} tu (t, s) & = - tu (t, s) H^{'} (s); \end{aligned}

$\begin{align*} i\partial_t U(t,s)&=H(t)U(t,s)\\ i\partial_{s} U(t,s)&=-U(t,s)H'(s)\; ; \end{align*}$ para algunas familias

(H (t))_{t \in R}

$\bigl(H(t)\bigr)_{t\in\mathbb{R}}$ y

(H^{'} (s))_{s \in R}

$\bigl(H'(s)\bigr)_{s\in\mathbb{R}}$ de operadores. Ahora la unitaridad implica que

U (t, s)^{*} = U (s, t)

$U(t,s)^* = U(s,t)$ , por lo tanto tomando el adjunto de la primera ecuación obtenemos que

- i \partial_{t} tu (s, t) = tu (s, t) H (t)^{*},

$-i\partial_t U(s,t)=U(s,t)H(t)^*\; ,$ y por lo tanto se sigue que para cualquier

t \in R

$t\in \mathbb{R}$ , los "generadores correctos"

H^{'} (t)

$H'(t)$ están relacionados con los "generadores izquierdos" por

H^{'} (t) = H (t)^{*}

$H'(t)=H(t)^*$ . En otras palabras, las dos derivadas anteriores ahora se leen

\begin{aligned} (*) & i \partial_{t} tu (t, s) & = H (t) tu (t, s) \\ i \partial_{s} tu (t, s) & = - tu (t, s) H (s)^{*} . \end{aligned}

$\begin{align*}\tag{$*$} i\partial_t U(t,s)&=H(t)U(t,s)\\ i\partial_{s} U(t,s)&=-U(t,s)H(s)^*\; . \end{align*}$

Si ahora tomamos el adjunto doble, también se sigue que cada operador $H(t)$ debe estar cerrado (porque obtenemos $H(t)^{**}=H(t)$ , y que cada adjunto está densamente definido).

En conclusión, vemos que para tener un grupo de evolución unitario densamente diferenciable de dos paprametros $\bigl(U(t,t_0)\bigr)_{(t,t_0)\in\mathbb{R}^2}$ es necesario que exista una familia de operadores cerrados (densamente definidos) $\bigl(H(t)\bigr)_{t\in\mathbb{R}}$ que "generan" el grupo de la izquierda y de la derecha a través de las ecuaciones ( $*$ ). Esto sin embargo, no da lugar a la hermiticidad de los generadores.

diferenciando $U(t,s) U(s,t) = I$ con respecto a $t$ y luego reorganizar un poco te da $\partial_{t}U(t,s) = - U(t,s) \partial_{t}U(s,t) U(t,s)$ . Sustituyendo esto en la primera ecuación de (*), luego multiplicando ambos lados por $U(s,t)$ tanto a la izquierda como a la derecha, y finalmente intercambiando las variables $t$ y $s$ muestra esa $H(s) = H(s)^{\ast}$ .

Demostrar que el hamiltoniano dependiente del tiempo es hermitiano a partir de la unitaridad del operador de evolución temporal

phchen

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