Relación del oscilador armónico con este hamiltoniano.

Repasemos rápidamente el oscilador armónico cuántico. Tenemos una sola partícula moviéndose en una dimensión, por lo que el espacio de Hilbert es$L^2(\mathbb{R})$: el conjunto de funciones complejas integrables al cuadrado en$\mathbb{R}$. El oscilador armónico hamiltoniano viene dado por

dónde$X$y$P$son los operadores habituales de posición y momento: actuando sobre una función de onda$\psi(x)$ellos son$X \psi(x) = x\psi(x)$y$P \psi(x) = -i\hbar\ \partial \psi / \partial x$. Por supuesto, también podemos pensar en ellos como si actuaran sobre un vector abstracto.$|\psi\rangle$.

Dejando$P \to -i\hbar\ \partial/\partial x$pudimos resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo$H \psi = E \psi$, pero esto es un poco pesado. Así que en su lugar definimos operadores$a$y$a^\dagger$como en tu publicación. Nótese que la definición de$a$y$a^\dagger$no tiene nada que ver con nuestro hamiltoniano. Da la casualidad de que estas definiciones son convenientes porque el hamiltoniano resulta ser$\hbar \omega (a^\dagger a + 1/2)$.

Por conveniencia definimos el operador numérico$N = a^\dagger a$; en esta etapa, el número es solo un nombre sin interpretación física. Usando la relación de conmutación$[a,a^\dagger] = 1$y algo de álgebra nos damos cuenta de que$N$tiene un espectro no degenerado dado por los números naturales. En otras palabras, los valores propios de$N$son$\{0,1,2,\dots\}$, y a cada valor propio$n$corresponde un solo estado$|n\rangle$con$N|n\rangle = n |n\rangle$. Fíjate que, de nuevo,$N$es independiente de nuestro hamiltoniano. Sin embargo, debido a que el hamiltoniano resulta ser$\hbar \omega (N+1/2)$inmediatamente sabemos que los estados$|n\rangle$son sus vectores propios, con energías$\hbar \omega (n + 1/2)$.

Ahora te dan un hamiltoniano diferente. El espacio de Hilbert sigue siendo exactamente el mismo, y también lo son$a$,$a^\dagger$y$N$, porque su definición no tenía nada que ver con el hamiltoniano original. Todavía puede usar sus propiedades para encontrar energías, vectores propios, etc. Los Estados$|n\rangle$siguen siendo los estados propios de$N$, aunque a priori podrían no ser estados propios del nuevo$H$(El ejercicio 31 le pide que demuestre que, de hecho, son estados propios del nuevo$H$). El punto importante aquí es que los operadores (normalmente) se definen independientemente del hamiltoniano. Caracterizan el sistema físico. Después de todo, sabes que hay operadores$X$y$P$, y no tiene reparos en usarlos con diferentes hamiltonianos. El hamiltoniano da la evolución de la energía y el tiempo, pero los observables y los operadores relacionados son independientes de su elección de hamiltoniano.

Sobre la interpretación física... el ejercicio 31 te pide que demuestres que$H=\hbar\omega_0 N + \hbar \omega_1 (N^2-N)$; fíjate que nos hemos deshecho de$\hbar\omega_0 /2$ya que es solo una constante. normalmente esperaría$\omega_1$ser más pequeño que$\omega_0$por lo que esta es una pequeña perturbación (para pequeñas$n$al menos), pero realmente no nos importa eso en este momento. Puedes ver eso$|n\rangle$siguen siendo los estados propios del hamiltoniano; todo lo que hicimos fue cambiar las energías en una cantidad$\hbar \omega_1 (N^2-N)$.

Los operadores de aniquilación y creación NO son específicos de ningún hamiltoniano en particular. Se definen a través de$X$y$P$que son operadores de posición y momento para CUALQUIER sistema que estés estudiando. Resultó que estos operadores facilitan los cálculos en SHO específicamente. (De hecho, creo que estos operadores se originaron a partir del estudio de SHO de Dirac)

Su nuevo hamiltoniano es diferente al SHO formalmente, ¡pero en realidad los OPERADORES NO han cambiado!$N$sigue siendo el mismo$N$! Dado que los argumentos de$H$SOLAMENTE involucrar a un operador$N$y escalares arbitrarios,$H$y$N$conmutar y por lo tanto estados propios de$N$también son estados propios de$H$. Así que si$H$actúa sobre un estado propio de$N$, la salida es solo la energía. Aquí nótese que aunque$n$ya no CUENTA el nivel de excitación de un solo oscilador, sigue siendo una etiqueta suficientemente buena para los niveles de energía de su nuevo sistema.

En resumen, el operador$N$es solo una herramienta. ¡Podrías haber expresado tu hamiltoniano en términos de otros operadores "ingeniosos" (o estúpidos) y resolver el problema en términos de estados propios de esos operadores!$N$es de ninguna manera único. Puede existir por sí solo sin referencia a SHO. Supongo que ese es el punto más importante para hacer.

El hamiltoniano de diferentes sistemas es diferente. El hamiltoniano de diferentes sistemas no tiene por qué estar relacionado. Se le enseña a estudiar la dinámica del oscilador armónico en Mecánica Cuántica porque está relacionado con la cuantización del campo electromagnético, que aprenderá más adelante. Dicho básicamente, el hamiltoniano del oscilador armónico es el mismo con el campo de luz.

De todos modos, el ejercicio que se nos presenta te pide que estudies un sistema cuántico con un hamiltoniano total de$H=\hbar\omega_{0}a^{\dagger}a+\hbar\omega_{1}a^{\dagger}a^{\dagger}aa$. Por lo tanto, deberías usar este para resolver el ejercicio.

El operador de aniquilación también se da en el ejercicio. En caso de que te lo preguntes, es lo mismo que la relación que encuentras en el sistema del oscilador armónico. Te mostrare,

Te puedo decir que te estás confundiendo con el concepto fundamental de la Mecánica Cuántica. Le sugiero que regrese y lea más materiales. Si no tienes claro los operadores, como has dicho, deberías aprender más sobre Matemáticas para Mecánica Cuántica.

Creo que este ejercicio no es muy difícil. Como solo nos pidió que aclaráramos la confusión que tiene con el hamiltoniano, no iré más allá de esto. Si encuentra el ejercicio desafiante, pídanos un asistente específico. Tenga en cuenta que este sitio no es para resolver tareas, sino para ayudar con las tareas. Si encuentra que mi respuesta no es útil, por favor comente a continuación.